29: コントラクション（収斂）マッピングの法則

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コントラクション（収斂）マッピングの法則の定義/証明

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話題

About: メトリックスペース（計量付き空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、コントラクション（収斂）マッピングの法則の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のコンプリート（完備）なメトリックスペース（計量付き空間）$M$および以下を満たす任意のマップ$f:M\to M$、つまり、任意の$p_1,p_2\in M$に対して$dist(f(p_1),f(p_2))\le rdist(p_1,p_2)$であるような任意の$0\le r<1$がある、に対して、$f$は唯一の固定点（$f(p)=p$であることを意味する）$p$を持ち、任意の$p_0\in M$に対して、$li{m}_{k\to \mathrm{\infty }}{f}^k(p_0)=p$である。

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2: 証明

$$dist(f^{k+1}(p_0),f^k(p_0))\le rdist(f^k(p_0),f^{k-1}(p_0))\le r^{2}dist(f^{k-1}(p_0),f^{k-2}(p_0))...$$ $$\le r^{k}dist(f(p_0),p_0)$$。 $$dist(f^{k+m}(p_0),f^k(p_0))\le dist(f^{k+m}(p_0),f^{k+m-1}(p_0))+dist(f^{k+m-1}(p_0),f^{k+m-2}(p_0))+...+dist(f^{k+1}(p_0),f^k(p_0))$$ $$\le (r^{k+m-1}+r^{k+m-2}+...+r^k)dist(f(p_0),p_0)=r^k\frac{r^m-1}{r-1}dist(f(p_0),p_0)$$。したがって、$f^k(p_0)$ . . . はコーシーシーケンス（列）であり、$M$はコンプリート（完備）であるから、当該シーケンス（列）はある$p$へコンバージ（収束）する。$dist(f(p_1),f(p_2))\le rdist(p_1,p_2)$であるから、$f$はコンティニュアス（連続）である、したがって、$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}f(f^k(p_0))=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}^{k+1}(p_0)=f(p)=p$$。$p$はユニークである、なぜなら、固定点たち$p_1$および$p_2$に対して、$dist(p_1,p_2)=dist(f(p_1),f(p_2))\le rdist(p_1,p_2)$、それが可能なのは、$dist(p_1,p_2)=0$である場合のみである。

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参考資料

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