コントラクション（収斂）マッピングの法則の定義/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、コントラクション（収斂）マッピングの法則の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコンプリート（完備）なメトリックスペース（計量付き空間）\(M\)および以下を満たす任意のマップ\(f: M \to M\)、つまり、任意の\(p_1, p_2 \in M\)に対して\(dist (f (p_1), f (p_2)) \le r dist (p_1, p_2)\)であるような任意の\(0 \le r \lt 1\)がある、に対して、\(f\)は唯一の固定点（\(f (p) = p\)であることを意味する）\(p\)を持ち、任意の\(p_0 \in M\)に対して、\(lim_{k \to \infty} f^k (p_0) = p\)である。
2: 証明
$$dist (f^{k + 1} (p_0), f^k (p_0)) \le r dist (f^{k} (p_0), f^{k - 1} (p_0)) \le r^2 dist (f^{k - 1} (p_0), f^{k - 2} (p_0)) . . .$$ $$\le r^k dist (f (p_0), p_0)$$。 $$dist (f^{k + m} (p_0), f^k (p_0)) \le dist (f^{k + m} (p_0), f^{k + m - 1} (p_0)) + dist (f^{k + m - 1} (p_0), f^{k + m - 2} (p_0)) + . . . + dist (f^{k + 1} (p_0), f^{k} (p_0))$$ $$ \le (r^{k + m - 1} + r^{k + m -2} + . . . + r^{k}) dist (f (p_0), p_0) = r^k\frac{r^m - 1}{r - 1} dist (f (p_0), p_0)$$。したがって、\(f^k (p_0)\) . . . はコーシーシーケンス（列）であり、\(M\)はコンプリート（完備）であるから、当該シーケンス（列）はある\(p\)へコンバージ（収束）する。\(dist (f (p_1), f (p_2)) \le r dist (p_1, p_2)\)であるから、\(f\)はコンティニュアス（連続）である、したがって、$$\lim_{k \to \infty} f (f^k (p_0)) = \lim_{k \to \infty} f^{k + 1} (p_0) = f (p) = p$$。\(p\)はユニークである、なぜなら、固定点たち\(p_1\)および\(p_2\)に対して、\(dist (p_1, p_2) = dist (f (p_1), f (p_2)) \le r dist (p_1, p_2)\)、それが可能なのは、\(dist (p_1, p_2) = 0\)である場合のみである。
