ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）ODEに対して、なぜ、ローカル解存在はグローバル存在を保証しないのかの記述/証明
話題
About: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）ODEに対して、なぜ、ローカル解存在は、グローバル存在を保証しないのかを理解する。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\)
\([t_1, t_e]\): \(\subseteq \mathbb{R}\)
\(f\): \(: \mathbb{R}^d \times [t_1, t_e] \to \mathbb{R}^d\), \(\in \{\text{ 全ての } C^0 \text{ マップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall t_0 \in [t_1, t_e], \forall x_0 \in \mathbb{R}^d (\exists [t_0 - \epsilon_{t_0, x_0, 1}, t_0 + \epsilon_{t_0, x_0, 2}] \subseteq [t_1, t_e], \exists B_{x_0, K_{t_0, x_0}} \subseteq \mathbb{R}^d, \exists M_{t_0, x_0} \in \mathbb{R} (\forall x_1, x_2 \in B_{x_0, K_{t_0, x_0}}, \forall r \in [t_0 - \epsilon_{t_0, x_0, 1}, t_0 + \epsilon_{t_0, x_0, 2}] (\Vert f (x_1, r) - f (x_2, r) \Vert \le L_{t_0, x_0} \Vert x_1 - x_2 \Vert) \land Sup (\{\Vert f (x, r) \Vert \vert x \in B_{x_0, K_{t_0, x_0}}, r \in [t_0 - \epsilon_{t_0, x_0, 1}, t_0 + \epsilon_{t_0, x_0, 2}]\}) \le M_{t_0, x_0}))\)
\(\lnot \implies\)
\(\exists x: [t_1, t_e] \to \mathbb{R}^d (d x / d t = f (x, t))\)
//
2: 証明
ローカル解\(x: [t_1, t_1 + \epsilon_{t_1, x_1, 2}] \to \mathbb{R}^d\)を得よう、初期コンディション\(x (t_1) = x_1\)でもって、それは可能である、あるユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）オーディナリーディファレンシャルエクエイション（常微分方程式）である初期コンディションを持つものに対するあるクローズドインターバルドメイン（閉区間定義域）に対するローカルユニーク解存在、当該解のドメイン（定義域）エリアのある明確化を持ってによって。
次に、接続された次のローカル解を、\(t_2 = t_1 + \epsilon_{t_1, x_1, 2}\)における値\(x (t_2)\)を持つ初期コンディションによって得よう、拡張された解\(x: [t_1, t_2 + \epsilon_{t_2, x (t_2), 2}]\)を得て、等々と続く。
しかし、問題は、\(t_j + \epsilon_{t_j, x (t_j), 2}\)がそのうちに\(t_e\)へ達する保証が無いことである、なぜなら、それは、ある値\(t_l \lt t_e\)へコンバージ（収束）するかもしれない、当該解を\([t_1, t_e]\)全体へ拡張することなく。
しかし、なぜ、あるローカル解を、当該極限ポイント\(t_l\)におけるある初期コンディションによって得て、あるインターバル（区間）\([t_l - \epsilon_{t_l, x_{t_l}, 1}, t_l + \epsilon_{t_l, x_{t_l}, 2}]\)を得ないのか？
しかし、実のところ、\(x_{t_l}\)は何なのか？
\(x\)は\(t_l\)へ拡張されなかったので、それは、\(x (t_l)\)であるように選ぶことはできず、それまでに拡張された解に当該ローカル解をそれまでに拡張されたドメイン（定義域）上にて合致させるようなある\(x_{t_l}\)があるという保証が無い（注意として、ローカル存在は、\(t_l\)における任意の初期値が実現できることを保証するのであって、別のポイントにおける任意の値が実現できることを保証するのではない）。
3: 注
グローバル解存在を保証するある十分コンディションは、\(t_j\)における可能な値たちのセット（集合）と\(t_k\)における可能な値たちのセット（集合）、ここで、\(t_j\)および\(t_k\)は\([t_1, t_e]\)内の任意のポイントたち、間のマップ（写像）\(x (t_j) \mapsto x (t_k)\)のバイジェククティブ（全単射）性である、それは、\([t_l - \epsilon_{t_l, x_l, 1}, t_l + \epsilon_{t_l, x_l, 2}]\)ローカル解が、完全には拡張されていない解へ接続できることを保証する。
