28: なぜ、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）ODEに対してローカル解の存在がグローバルな存在を保証しないか

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なぜ、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）ODEに対してローカル解の存在がグローバルな存在を保証しないかの記述

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話題

About: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）常微分方程式に対するあるクローズドインターバル（閉区間）ドメイン（定義）に対するローカル唯一解の存在を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、なぜ、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）常微分方程式に対してローカル解の存在がドメイン（定義域）インターバル（区間）全体に対するグローバル解の存在を保証しないか理解する。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

あるユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）常微分方程式$\frac{dx}{dt}=f(x,t)$が、インターバル（区間）$[t_1,t_e]$内の各ポイント$t_0$周りで、初期条件$x(t_0)=x_0$、ここで、$x_0$は${\mathbb{R}}^d$内の任意の値、でもって、あるクローズド（閉）インターバル（区間）$[t_0-{ϵ}_{t_0,x_0,1},t_0+{ϵ}_{t_0,x_0,2}]$、ここで、${ϵ}_{t_0,x_0,i}$はそれが$t_0$および$x_0$に依存することを意味する、に対してローカルユニーク解を持つための条件たちを満たしていると仮定しよう。それは、$[t_1,t_e]$全体に対するグローバル解の存在を保証しない。なぜか？$t_1$における初期条件によるローカル解$x(t):[t_1-{ϵ}_{t_1,x_1,1},t_1+{ϵ}_{t_1,x_1,2}]\to {\mathbb{R}}^d$を得て、次に、$t_2=t_1+{ϵ}_{t_1,x_1,2}$における$x(t_2)$の値を使った初期条件による接続された次のローカル解を得て、拡張された解$x(t):[t_1,t_2+{ϵ}_{t_2,x(t_2),2}]$を得て、等々と続ける。しかし、問題は、$t_i+{ϵ}_{t_i,x(t_i),2}$がそのうち$t_e$に達するという保証がないことで、それはなぜなら、それはある値$t_l<t_e$に収束し、当該解を$[t_1,t_e]$全体まで拡張することに失敗するかもしれない. . . 。しかし、なぜ、私たちは、リミットポイント（限界点）$t_l$におけるある初期条件によるあるローカル解を得てあるインターバル（区間）$[t_l-{ϵ}_{t_l,x_{t_l},1},t_l+{ϵ}_{t_l,x_{t_l},2}]$を得ないのか？... しかし、$x_{t_l}$とは実際に何なのか？$x$は$t_l$まで拡張されていないから、それは$x(t_l)$とは選べず、当該ローカル解をそれまで拡張された解にそれまで拡張されたドメイン（定義域）上で合致させるようなある$x_{t_l}$があるという保証もない（注意として、ローカル存在は$t_l$における任意の初期値が実現されることを保証するのであって、別のポイントにおける任意の値が実現されることを保証するのではない）。

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2: 注

グローバル解の存在を保証する1つの十分条件は、$t_i$における可能な値たちのセット（集合）と$t_j$における可能な値たちのセット（集合）間のマップ（写像）$x(t_i)\mapsto x(t_j)$のバイジェクティブ（全単射）性、ここで、$t_i$および$t_j$は$[t_1,t_2]$内の任意のポイントたち、であり、それは、$[t_l-{ϵ}_{t_l,x_l,1},t_l+{ϵ}_{t_l,x_l,2}]$ローカル解が、完全には拡張されていない解へ接続可能であることを保証する。

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参考資料

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