26: ユークリディアンノルム付き空間間マップのための微積分の基本定理

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$C^1$、ユークリディアンノルム付き空間間マップのための微積分の基本定理の記述と証明

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話題

About: ノルム付き空間
About: マップ
About: デリバティブ（微分係数）
About: インテグラル（積分）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアンノルム付き空間の定義を知っている。
• 読者は、マップの定義を知っている。
• 読者は、ノルム付き空間間マップのデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
• 読者は、1引数1値ファンクションのための微積分の基本定理を認めている。
• 読者は、$C^1$、ユークリディアンノルム付き空間間マップのデリバティブ（微分係数）はヤコビアンであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$C^1$、ユークリディアンノルム付き空間間マップのための微積分の基本定理の記述と証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のユークリディアンノルム付き空間${\mathbb{R}}^{d1}$および${\mathbb{R}}^{d2}$、および任意の$C^1$マップ$f:{\mathbb{R}}^{d1}\to {\mathbb{R}}^{d2}$に対して、そのマップのデリバティブ（微分係数）$Df$は積分と次のように関係している、つまり、$f(v_{11}+t{v}_{12})=f(v_{11})+{\int }_0^{t}Df(v_{11}+s{v}_{12})v_{12}ds$ここで、$v_{11}$および$v_{12}$は${\mathbb{R}}^{d1}$上の任意のベクトルでtおよびsは任意の実数である。

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2: 証明

$f_i(v_{11}+t{v}_{12})$は$\mathbb{R}$から$\mathbb{R}$へのtに関する1引数1値ファンクションと見なせるので、1引数1値ファンクションに対する微積分の基本定理により、$$f_i(v_{11}+t{v}_{12})=f_i(v_{11})+{\int }_0^t\frac{\partial f_i}{\partial v_1^j}(v_{11}+s{v}_{12})v_{12}^{j}ds。$$それは、$$f(v_{11}+t{v}_{12})=f(v_{11})+{\int }_0^{t}Df(v_{11}+s{v}_{12})v_{12}ds、$$なぜなら、そのマップのデリバティブ（微分係数）はヤコビアンであるから。

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参考資料

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