ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち\(C^1\)マップ（写像）たちのコンポジション（合成）のデリバティブ（微分係数）に対するチェインルール（連鎖規則）の記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義を知っている。
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）のオープンサブセット（開部分集合）からノルム付きベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）のポイントにおけるデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）マトリックスノルムの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち\(C^1\)マップ（写像）たちのコンポジション（合成）マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）に対するチェインルール（連鎖規則）の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}^{d_1}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\)で、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）でもあるもの
\(\mathbb{R}^{d_2}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\)で、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）でもあるもの
\(\mathbb{R}^{d_3}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\)で、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）でもあるもの
\(f_1\): \(: \mathbb{R}^{d_1} \to \mathbb{R}^{d_2}\), \(\in \{\text{ 全ての } C^1 \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(f_2\): \(: \mathbb{R}^{d_2} \to \mathbb{R}^{d_3}\), \(\in \{\text{ 全ての } C^1 \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(f_2 \circ f_1\): \(\mathbb{R}^{d_1} \to \mathbb{R}^{d_3}\)
\(v_1\): \(\in \mathbb{R}^{d_1}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(D (f_2 \circ f_1)_{v_1} = D {f_2}_{f_1 (v_1)} \circ D {f_1}_{v_1}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(lim_{v'_1 \to 0} \Vert f_2 \circ f_1 (v_1 + v'_1) - (f_2 (f_1 (v_1)) + D {f_2}_{f_1 (v_1)} D {f_1}_{v_1} v'_1) \Vert / \Vert v'_1 \Vert = 0\)であることを見る。
ステップ1:
\(v_1, v'_1 \in \mathbb{R}^{d_1}\)を任意のものとしよう。
\(f_2 \circ f_1 (v_1 + v'_1) = f_2 (f_1 (v_1 + v'_1)) = f_2 (f_1 (v_1) + D {f_1}_{v_1} v'_1 + r_1 (v_1, v'_1)) = f_2 (f_1 (v_1)) + D {f_2}_{f_1 (v_1)} (D {f_1}_{v_1} v'_1 + r_1 (v_1, v'_1)) + r_2 (f_1 (v_1), D {f_1}_{v_1} v'_1 + r_1 (v_1, v'_1)) := V1\)。
\(D {f_2}_{f_1 (v_1)}\)はリニア（線形）であるから、\(V1 = f_2 (f_1 (v_1)) + D {f_2}_{f_1 (v_1)} D {f_1}_{v_1} v'_1 + D {f_2}_{f_1 (v_1)} r_1 (v_1, v'_1) + r_2 (f_1 (v_1), D {f_1}_{v_1} v'_1 + r_1 (v_1, v'_1))\)。
見る必要があることは、\(lim_{v'_1 \to 0} \Vert D {f_2}_{f_1 (v_1)} r_1 (v_1, v'_1) + r_2 (f_1 (v_1), D {f_1}_{v_1} v'_1 + r_1 (v_1, v'_1)) \Vert / \Vert v'_1 \Vert = 0\)。
\(\Vert D {f_2}_{f_1 (v_1)} r_1 (v_1, v'_1) + r_2 (f_1 (v_1), D {f_1}_{v_1} v'_1 + r_1 (v_1, v'_1)) \Vert / \Vert v'_1 \Vert \le \Vert D {f_2}_{f_1 (v_1)} r_1 (v_1, v'_1) \Vert / \Vert v'_1 \Vert + \Vert r_2 (f_1 (v_1), D {f_1}_{v_1} v'_1 + r_1 (v_1, v'_1)) \Vert / \Vert v'_1 \Vert\)であるから、\(lim_{v'_1 \to 0} \Vert D {f_2}_{f_1 (v_1)} r_1 (v_1, v'_1) \Vert / \Vert v'_1 \Vert = 0\)および\(lim_{v'_1 \to 0} \Vert r_2 (f_1 (v_1), D {f_1}_{v_1} v'_1 + r_1 (v_1, v'_1)) \Vert / \Vert v'_1 \Vert = 0\)を見れば充分である。
前者を見よう。
\(\Vert D {f_2}_{f_1 (v_1)} r_1 (v_1, v'_1) \Vert \le \Vert D {f_2}_{f_1 (v_1)} \Vert \Vert r_1 (v_1, v'_1) \Vert\)、ここで、\(\Vert D {f_2}_{f_1 (v_1)} \Vert\)は、ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）マトリックスノルムの定義である, であるから、\(\Vert D {f_2}_{f_1 (v_1)} r_1 (v_1, v'_1) \Vert / \Vert v'_1 \Vert \le \Vert D {f_2}_{f_1 (v_1)} \Vert \Vert r_1 (v_1, v'_1) \Vert / \Vert v'_1 \Vert\)、そして、\(lim_{v'_1 \to 0} \Vert D {f_2}_{f_1 (v_1)} r_1 (v_1, v'_1) \Vert / \Vert v'_1 \Vert = 0\)、なぜなら、\(lim_{v'_1 \to 0} \Vert r_1 (v_1, v'_1) \Vert / \Vert v'_1 \Vert = 0\)。
後者を見よう。
\(\Vert r_2 (f_1 (v_1), D {f_1}_{v_1} v'_1 + r_1 (v_1, v'_1)) \Vert / \Vert D {f_1}_{v_1} v'_1 + r_1 (v_1, v'_1) \Vert = \Vert r_2 (f_1 (v_1), D {f_1}_{v_1} v'_1 + r_1 (v_1, v'_1)) \Vert / \Vert v'_1 \Vert \Vert v'_1 \Vert / \Vert D {f_1}_{v_1} v'_1 + r_1 (v_1, v'_1) \Vert := V2\)。
しかし、\(\Vert D {f_1}_{v_1} v'_1 + r_1 (v_1, v'_1) \Vert / \Vert v'_1 \Vert \le \Vert D {f_1}_{v_1} v'_1 \Vert / \Vert v'_1 \Vert + \Vert r_1 (v_1, v'_1) \Vert / \Vert v'_1 \Vert \le \Vert D {f_1}_{v_1} \Vert \Vert v'_1 \Vert / \Vert v'_1 \Vert + \Vert r_1 (v_1, v'_1) \Vert / \Vert v'_1 \Vert = \Vert D {f_1}_{v_1} \Vert + \Vert r_1 (v_1, v'_1) \Vert / \Vert v'_1 \Vert\)、ここで、\(\lim_{v'_1 \to 0} \Vert r_1 (v_1, v'_1) \Vert / \Vert v'_1 \Vert = 0\)、したがって、\(lim_{v'_1 \to 0} \Vert D {f_1}_{v_1} v'_1 + r_1 (v_1, v'_1) \Vert / \Vert v'_1 \Vert \le \Vert D {f_1}_{v_1} \Vert\ \lt \infty\)。
したがって、\(v'_1 \to 0\)の時、\(D {f_1}_{v_1} v'_1 + r_1 (v_1, v'_1) \to 0\)、したがって、\(V2 \to 0\)、\(r_2\)のプロパティによって、しかし、\(\Vert v'_1 \Vert / \Vert D {f_1}_{v_1} v'_1 + r_1 (v_1, v'_1) \Vert\)は\(0\)へ近づかないから、\(lim_{v'_1 \to 0} \Vert r_2 (f_1 (v_1), D {f_1} (v_1) v'_1 + r_1 (v_1, v'_1)) \Vert / \Vert v'_1 \Vert = 0\)。
したがって、\(D (f_2 \circ f_1)_{v_1} = D {f_2}_{f_1 (v_1)} \circ D {f_1}_{v_1}\)。
