25: ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たちC^1マップ（写像）たちのコンポジション（合成）のデリバティブ（微分係数）に対するチェインルール（連鎖規則）

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ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち$C^1$マップ（写像）たちのコンポジション（合成）のデリバティブ（微分係数）に対するチェインルール（連鎖規則）の記述/証明

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話題

About: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ベクトルノルムからインデュースト（誘導された）マトリックス（行列）ノルムの定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
• 読者は、ベクトルノルムからインデュースト（誘導された）マトリックス（行列）ノルムのいくつかの性質を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち$C^1$マップ（写像）たちのコンポジション（合成）のデリバティブ（微分係数）に対するチェインルール（連鎖規則）の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち${\mathbb{R}}^{d_1}$、${\mathbb{R}}^{d_2}$、${\mathbb{R}}^{d_3}$、任意の$C^1$マップ（写像）たち$f_1:{\mathbb{R}}^{d_1}\to {\mathbb{R}}^{d_2}$および$f_2:{\mathbb{R}}^{d_2}\to {\mathbb{R}}^{d_3}$、以下を満たすコンポジションマップ（写像）$f_3:{\mathbb{R}}^{d_1}\to {\mathbb{R}}^{d_3}$、つまり、$f_3=f_2(f_1)$、に対して、$f_3$のデリバティブ（微分係数）$D{f}_3$は$D{f}_{2}D{f}_1$である。

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2: 証明

任意のベクトルたち$v_{1,1},v_{1,2}\in {\mathbb{R}}^{d_1}$に対して、$f_3(v_{1,1}+v_{1,2})=f_2(f_1(v_{1,1}+v_{1,2}))=f_2(f_1(v_{1,1})+f_1^{\prime }(v_{1,1})v_{1,2}+r_1(v_{1,1},v_{1,2}))=f_2(f_1(v_{1,1}))+f_2^{\prime }(f_1(v_{1,1}))(f_1^{\prime }(v_{1,1})v_{1,2}+r_1(v_{1,1},v_{1,2}))+r_2(f_1(v_{1,1}),f_1^{\prime }(v_{1,1})v_{1,2}+r_1(v_{1,1},v_{1,2})):=V_1$。$f_2^{\prime }$はリニア（線形）であるから、$V_1=f_2(f_1(v_{1,1}))+f_2^{\prime }(f_1(v_{1,1}))f_1^{\prime }(v_{1,1})v_{1,2}+f_2^{\prime }(f_1(v_{1,1}))r_1(v_{1,1},v_{1,2})+r_2(f_1(v_{1,1}),f_1^{\prime }(v_{1,1})v_{1,2}+r_1(v_{1,1},v_{1,2}))$。

しかし、$\Vert f_2^{\prime }(f_1(v_{1,1}))r_1(v_{1,1},v_{1,2})\Vert \le \Vert f_2^{\prime }(f_1(v_{1,1}))\Vert \Vert r_1(v_{1,1},v_{1,2})\Vert$であるから、$li{m}_{v_{1,2}\to 0}\frac{\Vert f_2^{\prime }(f_1(v_{1,1}))r_1(v_{1,1},v_{1,2})\Vert }{\Vert v_{1,2}\Vert }=0$、そして、$\frac{\Vert r_2(f_1(v_{1,1}),f_1^{\prime }(v_{1,1})v_{1,2}+r_1(v_{1,1},v_{1,2}))\Vert }{\Vert f_1^{\prime }(v_{1,1})v_{1,2}+r_1(v_{1,1},v_{1,2})\Vert }=\frac{\Vert r_2(f_1(v_{1,1}),f_1^{\prime }(v_{1,1})v_{1,2}+r_1(v_{1,1},v_{1,2}))\Vert }{\Vert v_{1,2}\Vert }\frac{\Vert v_{1,2}\Vert }{\Vert f_1^{\prime }(v_{1,1})v_{1,2}+r_1(v_{1,1},v_{1,2})\Vert }:=V_2$。

しかし、$\frac{\Vert f_1^{\prime }(v_{1,1})v_{1,2}+r_1(v_{1,1},v_{1,2})\Vert }{\Vert v_{1,2}\Vert }\le \frac{\Vert f_1^{\prime }(v_{1,1})v_{1,2}\Vert }{\Vert v_{1,2}\Vert }+\frac{\Vert r_1(v_{1,1},v_{1,2})\Vert }{\Vert v_{1,2}\Vert }$、ここで、$\underset{v_{1,2}\to 0}{lim}\frac{\Vert r_1(v_{1,1},v_{1,2})\Vert }{\Vert v_{12}\Vert }=0$および$\frac{\Vert f_1^{\prime }(v_{1,1})v_{1,2}\Vert }{\Vert v_{1,2}\Vert }\le \frac{\Vert f_1^{\prime }(v_{1,1})\Vert \Vert v_{1,2}\Vert }{\Vert v_{1,2}\Vert }=\Vert f_1^{\prime }(v_{1,1})\Vert$。したがって、$v_{1,2}\to 0$のとき、$f_1^{\prime }(v_{1,1})v_{1,2}+r_1(v_{1,1},v_{1,2})\to 0$、したがって、$V_2\to 0$、しかし、$\frac{\Vert v_{1,2}\Vert }{\Vert f_1^{\prime }(v_{1,1})v_{1,2}+r_1(v_{1,1},v_{1,2})\Vert }$は0に近づかないから、$li{m}_{v_{1,2}\to 0}\frac{\Vert r_2(f_1(v_{1,1}),f_1^{\prime }(v_{1,1})v_{1,2}+r_1(v_{1,1},v_{1,2}))\Vert }{\Vert v_{1,2}\Vert }=0$。

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参考資料

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