24: C1、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）はヤコビアンである

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

$C^1$、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）はヤコビアンであることの記述/証明

---

話題

About: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）マトリックス（行列）ノルムの定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
• 読者は、$C^1$ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち間ファンクション（関数）に対する平均値の定理を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、$C^1$、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）はヤコビアンであるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意のユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち${\mathbb{R}}^{d1}$および${\mathbb{R}}^{d2}$、任意の$C^1$マップ（写像）$f:{\mathbb{R}}^{d1}\to {\mathbb{R}}^{d2}$に対して、当該マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）$Df$はヤコビアン、つまり、$\left[\frac{\partial f_i}{\partial v_{1j}}\right]$、である、ここで、{$v_{1j}$}たちは${\mathbb{R}}^{d1}$上のベクトルのコンポーネントたちである。

---

2: 証明

任意の${\mathbb{R}}^{d_2}$ベクトル$v_2$および任意の${\mathbb{R}}^{d_1}$ベクトルたち$v_{11}$および$v_{12}$に対して、$$v_2(f(v_{11}+v_{12})-f(v_{11})-f^{\prime }(v_{11})v_{12})=v_2(f(v_{11}+v_{12})-f(v_{11}))-v_2(f^{\prime }(v_{11})v_{12}):=V1$$、しかし、$C^1$ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち間ファンクション（関数）に対する平均値の定理によって、以下を満たすある${\mathbb{R}}^{d_1}$ベクトル$v_{13}$、つまり、$v_{13}$はラインセグメント（線分）$\overline{v_{11}{v}_{12}}$上にあり、$$v_2(f(v_{11}+v_{12})-f(v_{11}))=v_2(f^{\prime }(v_{13})v_{12})$$、がある。したがって、$$V1=v_2(f^{\prime }(v_{13})v_{12})-v_2(f^{\prime }(v_{11})v_{12})=v_2(f^{\prime }(v_{13})-f^{\prime }(v_{11}))v_{v12}$$。しかし、$v_2$は$f(v_{11}+v_{12})-f(v_{11})-f^{\prime }(v_{11})v_{12}$の方向（$v_{13}$に依存しない）のユニット（単位長）ベクトルと選ぶことができ、したがって、$$\Vert v_2(f(v_{11}+v_{12})-f(v_{11})-f^{\prime }(v_{11})v_{12})\Vert =\Vert f(v_{11}+v_{12})-f(v_{11})-f^{\prime }(v_{11})v_{12}\Vert =\Vert v_2(f^{\prime }(v_{13})-f^{\prime }(v_{11}))v_{12}\Vert$$ $$\le \Vert v_2\Vert \Vert f^{\prime }(v_{13})-f^{\prime }(v_{11})\Vert \Vert v_{12}\Vert =\Vert f^{\prime }(v_{13})-f^{\prime }(v_{11})\Vert \Vert v_{12}\Vert$$。したがって、$$\frac{\Vert f(v_{11}+v_{12})-f(v_{11})-f^{\prime }(v_{11})v_{12}\Vert }{\Vert v_{12}\Vert }\le \Vert f^{\prime }(v_{13})-f^{\prime }(v_{11})\Vert$$。$$\underset{v_{12}\Rightarrow 0}{lim}\Vert f^{\prime }(v_{13})-f^{\prime }(v_{11})\Vert =0$$であるから、$$\underset{\Vert v_{12}\Vert \to 0}{lim}\frac{\Vert f(v_{11}+v_{12})-f(v_{11})-f^{\prime }(v_{11})v_{12}\Vert }{\Vert v_{12}\Vert }=0$$。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>