\(C^1\)、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のデリバティブ（微分係数）はヤコビアンであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）のオープンサブセット（開部分集合）からノルム付きベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）のポイントにおけるデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）マトリックスノルムの定義を知っている。
- 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式を認めている。
- 読者は、任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）から任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）の中への任意の\(C^1\)マップ（写像）に対する平均値定理を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^1\)、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のデリバティブ（微分係数）はヤコビアンであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}^{d_1}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\)で、当該ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）でもあるもの
\(\mathbb{R}^{d_2}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\)で、当該ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）でもあるもの
\(f\): \(: \mathbb{R}^{d_1} \to \mathbb{R}^{d_2}\), \(\in \{\text{ 全ての } C^1 \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(v_1\): \(\in \mathbb{R}^{d_1}\)
\(D f_{v_1}\): \(= f \text{ の } v_1 \text{ におけるデリバティブ（微分係数） }\)
\(M_{v_1}\): \(= \begin{pmatrix} \partial_l f^j (v_1) \end{pmatrix}\)、\(f\)の\(v_1\)におけるヤコビアン
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ステートメント（言明）たち:
\(D f_{v_1} = M_{v_1}\)
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2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(lim_{\Vert v'_1 \Vert \to 0} \Vert f (v_1 + v'_1) - f (v_1) - M_{v_1} v'_1 \Vert / \Vert v'_1 \Vert = 0\)であることをみる、任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）から任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）の中への任意の\(C^1\)マップ（写像）に対する平均値定理を使って。
ステップ1:
\(M_p\)を、\(f\)の任意の\(p \in \mathbb{R}^{d_1}\)におけるヤコビアンとしよう。
\(v_2 \in \mathbb{R}^{d_2}\)および\(v_1, v'_1 \in \mathbb{R}^{d_1}\)を任意のものとしよう。
\(\langle v_2, f (v_1 + v'_1) - f (v_1) - M_{v_1} v'_1 \rangle = \langle v_2, f (v_1 + v'_1) - f (v_1) \rangle - \langle v_2, M_{v_1} v'_1 \rangle := V1\)。
任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）から任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）の中への任意の\(C^1\)マップ（写像）に対する平均値定理によって、以下を満たすある\(\mathbb{R}^{d_1}\)ベクトル\(v''_1\)、つまり、\(v''_1\)はラインセグメント（線分）\(\overline{v_1 v'_1}\)のインテリア（内部）上にあり\(\langle v_2, f (v_1 + v'_1) - f (v_1) \rangle = \langle v_2, M_{v''_1} v'_1 \rangle\)、がある。
したがって、\(V1 = \langle v_2, M_{v''_1} v'_1 \rangle - \langle v_2, M_{v_1} v'_1 \rangle = \langle v_2, (M_{v''_1} - M_{v_1}) v'_1 \rangle\)。
しかし、\(v_2\)は、\(f (v_1 + v'_1) - f (v_1) - M_{v_1} v'_1\)方向のユニット（単位）ベクトルと取ることができ、したがって、\(\vert \langle v_2, f (v_1 + v'_1) - f (v_1) - M_{v_1} v'_1 \rangle \vert = \Vert f (v_1 + v'_1) - f (v_1) - M_{v_1} v'_1 \Vert = \vert \langle v_2, (M_{v''_1} - M_{v_1}) v'_1 \rangle \vert \le \Vert v_2 \Vert \Vert (M_{v''_1} - M_{v_1}) v'_1 \Vert\)、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式によって、\(\le \Vert v_2 \Vert \Vert M_{v''_1} - M_{v_1} \Vert \Vert v'_1 \Vert\)、ここで、\(\Vert M_{v''_1} - M_{v_1} \Vert\)は、ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）マトリックスノルム、\(= \Vert M_{v''_1} - M_{v_1} \Vert \Vert v'_1 \Vert\)。
したがって、\(\Vert f (v_1 + v'_1) - f (v_1) - M_{v_1} v'_1 \Vert / \Vert v'_1 \Vert \le \Vert M_{v''_1} - M_{v_1} \Vert\)。
\(f\)は\(C^1\)であるから、\(\Vert v'_1 \Vert\)が\(0\)へ近づく時、\(v''_1\)は\(v_1\)へ近づく一方、\(M_{v''_1} - M_{v_1}\)は\(0\)へ近づく、そして、\(\Vert M_{v''_1} - M_{v_1} \Vert\)は\(0\)へ近づく。
したがって、\(\lim_{\Vert v'_1 \Vert \to 0} \Vert f (v_1 + v'_1) - f (v_1) - M_{v_1} v'_1 \Vert / \Vert v'_1 \Vert = 0\)。
それが意味するのは、\(D f_{v_1} = M_{v_1}\)。
