\(C^1\)、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）はヤコビアンであることの記述/証明
話題
About: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）マトリックス（行列）ノルムの定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^1\)ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち間ファンクション（関数）に対する平均値の定理を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^1\)、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）はヤコビアンであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち\(\mathbb{R}^{d1}\)および\(\mathbb{R}^{d2}\)、任意の\(C^1\)マップ（写像）\(f: \mathbb{R}^{d1} \to \mathbb{R}^{d2}\)に対して、当該マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）\(Df\)はヤコビアン、つまり、\(\left[\frac{\partial f_i}{\partial v_{1j}}\right]\)、である、ここで、{\(v_{1j}\)}たちは\(\mathbb{R}^{d1}\)上のベクトルのコンポーネントたちである。
2: 証明
任意の\(\mathbb{R}^{d_2}\)ベクトル\(v_{2}\)および任意の\(\mathbb{R}^{d_1}\)ベクトルたち\(v_{11}\)および\(v_{12}\)に対して、$$v_{2} \left(f (v_{11} + v_{12}) - f (v_{11}) - f' (v_{11}) v_{12}\right) = v_{2} \left(f (v_{11} + v_{12}) - f (v_{11})\right) - v_{2} \left(f' (v_{11}) v_{12}\right) := V1$$、しかし、\(C^1\)ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち間ファンクション（関数）に対する平均値の定理によって、以下を満たすある\(\mathbb{R}^{d_1}\)ベクトル\(v_{13}\)、つまり、\(v_{13}\)はラインセグメント（線分）\(\overline{v_{11}v_{12}}\)上にあり、$$v_{2} \left(f (v_{11} + v_{12}) - f (v_{11})\right) = v_{2} \left(f' (v_{13}) v_{12}\right)$$、がある。したがって、$$V1 = v_{2} \left(f' (v_{13}) v_{12}\right) - v_{2} \left(f' (v_{11}) v_{12}\right) = v_{2} \left(f' (v_{13}) - f' (v_{11})\right) v_{v12}$$。しかし、\(v_{2}\)は\(f (v_{11} + v_{12}) - f (v_{11}) - f' (v_{11}) v_{12}\)の方向（\(v_{13}\)に依存しない）のユニット（単位長）ベクトルと選ぶことができ、したがって、$$\Vert v_{2} \left(f (v_{11} + v_{12}) - f (v_{11}) - f' (v_{11}) v_{12}\right)\Vert = \Vert f (v_{11} + v_{12}) - f (v_{11}) - f' (v_{11}) v_{12}\Vert = \Vert v_{2} \left(f' (v_{13}) - f' (v_{11})\right) v_{12}\Vert$$ $$\le \Vert v_{2}\Vert \Vert f' (v_{13}) - f' (v_{11})\Vert \Vert v_{12}\Vert = \Vert f' (v_{13}) - f' (v_{11})\Vert \Vert v_{12}\Vert$$。したがって、$$\frac{\Vert f (v_{11} + v_{12}) - f (v_{11}) - f' (v_{11}) v_{12}\Vert}{\Vert v_{12}\Vert} \le \Vert f' (v_{13}) - f' (v_{11})\Vert$$。$$\lim_{v_{12} \Rightarrow 0} \Vert f' (v_{13}) - f' (v_{11})\Vert = 0$$であるから、$$\lim_{\Vert v_{12}\Vert \to 0} \frac{\Vert f (v_{11} + v_{12}) -f (v_{11}) - f' (v_{11}) v_{12}\Vert}{\Vert v_{12}\Vert} = 0$$。
