ジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）、\(\mathfrak{gl} (V)\)の定義
話題
About: リーアルジェブラ（多元環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%エンドモーフィズム（自己準同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）、\(\mathfrak{gl} (V)\)の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(*\mathfrak{gl} (V)\): \(= \{f: V \to V \in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\}\), \(\in \{\text{ 全てのリーアルジェブラ（多元環）たち }\}\)で、以下に指定される\(F\)ベクトルたちスペース（空間）たちストラクチャー（構造）およびブラケットを持つもの
//
コンディションたち:
\(\forall f_1, f_2 \in \mathfrak{gl} (V), \forall v \in V, \forall r \in F\)
(
\((f_1 + f_2) (v) = f_1 (v) + f_2 (v)\)
\((r f) (v) = r f (v)\)
\([f_1, f_2] (v) = f_1 \circ f_2 (v) - f_2 \circ f_1 (v)\)
)
//
2: 注
\(\mathfrak{gl} (V)\)は本当にある\(F\)ベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。
1) \(\forall f_1, f_2 \in \mathfrak{gl} (V) (f_1 + f_2 \in \mathfrak{gl} (V))\)（アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）: \((f_1 + f_2) (r_1 v_1 + r_2 v_2) = f_1 (r_1 v_1 + r_2 v_2) + f_2 (r_1 v_1 + r_2 v_2) = r_1 f_1 (v_1) + r_2 f_1 (v_2) + r_1 f_2 (v_1) + r_2 f_2 (v_2) = r_1 (f_1 (v_1) + f_2 (v_1)) + r_2 (f_1 (v_2) + f_2 (v_2)) = r_1 (f_1 + f_2) (v_1) + r_2 (f_1 + f_2) (v_2)\)、したがって、\(f_1 + f_2 \in \mathfrak{gl} (V)\)。
2) \(\forall f_1, f_2 \in \mathfrak{gl} (V) (f_1 + f_2 = f_2 + f_1)\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: \((f_1 + f_2) (v) = f_1 (v) + f_2 (v) = f_2 (v) + f_1 (v) = (f_2 + f_1) (v)\)。
3) \(\forall f_1, f_2, f_3 \in \mathfrak{gl} (V) ((f_1 + f_2) + f_3 = f_1 + (f_2 + f_3))\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \(((f_1 + f_2) + f_3) (v) = (f_1 + f_2) (v) + f_3 (v) = f_1 (v) + f_2 (v) + f_3 (v) = f_1 (v) + (f_2 (v) + f_3 (v)) = f_1 (v) + (f_2 + f_3) (v) = (f_1 + (f_2 + f_3)) (v)\)。
4) \(\exists 0 \in \mathfrak{gl} (V) (\forall f \in \mathfrak{gl} (V) (f + 0 = f))\)（0要素の存在）: \(0\)をゼロマップ（写像）とする; \(0 \in \mathfrak{gl} (V)\); \((f + 0) (v) = f (v) + 0 (v) = f (v)\)。
5) \(\forall f \in \mathfrak{gl} (V) (\exists f' \in \mathfrak{gl} (V) (f' + f = 0))\)（インバース（逆）要素の存在）: \(f' = - 1 f\)とする; \(f' \in \mathfrak{gl} (V)\); \((f + f') (v) = f (v) + f' (v) = f (v) - 1 f (v) = 0 (v)\)。
6) \(\forall f \in \mathfrak{gl} (V), \forall r \in F (r . f \in \mathfrak{gl} (V))\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）: \((r f) (r_1 v_1 + r_2 v_2) = r f (r_1 v_1 + r_2 v_2) = r (r_1 f (v_1) + r_2 f (v_2) = r_1 r f (v_1) + r_2 r f (v_2) = r_1 (r f) (v_1) + r_2 (r f) (v_2)\)。
7) \(\forall f \in \mathfrak{gl} (V), \forall r_1, r_2 \in F ((r_1 + r_2) . f = r_1 . f + r_2 . f)\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \(((r_1 + r_2) f) (v) = (r_1 + r_2) f (v) = r_1 f (v) + r_2 f (v) = (r_1 f) (v) + (r_2 f) (v) = (r_1 f + r_2 f) (v)\)。
8) \(\forall f_1, f_2 \in \mathfrak{gl} (V), \forall r \in F (r . (f_1 + f_2) = r . f_1 + r . f_2)\)（要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））: \((r (f_1 + f_2)) (v) = r (f_1 + f_2) (v) = r (f_1 (v) + f_2 (v)) = r f_1 (v) + r f_2 (v) = (r f_1) (v) + (r f_2) (v) = (r f_1 + r f_2) (v)\)。
9) \(\forall f \in \mathfrak{gl} (V), \forall r_1, r_2 \in F ((r_1 r_2) . f = r_1 . (r_2 . f))\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \(((r_1 r_2) . f) (v) = (r_1 r_2) f (v) = r_1 (r_2 f (v)) = r_1 (r_2 f) (v) = (r_1 (r_2 f)) (v)\)。
10) \(\forall f \in \mathfrak{gl} (V) (1 . f = f)\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））: \((1 f) (v) = 1 f (v) = f (v)\)。
\([]\)はあるブラケットであるためのコンディションたちを満たすことを見よう。
1) \([r_1 f_1 + r_2 f_2, f_3] = r_1 [f_1, f_3] + r_2 [f_2, f_3]\) \(\land\) \([f_3, r_1 f_1 + r_2 f_2] = r_1 [f_3, f_1] + r_2 [f_3, f_2]\): \([r_1 f_1 + r_2 f_2, f_3] = (r_1 f_1 + r_2 f_2) \circ f_3 - f_3 \circ (r_1 f_1 + r_2 f_2) = r_1 f_1 \circ f_3 + r_2 f_2 \circ f_3 - r_1 f_3 \circ f_1 + r_2 f_3 \circ f_2 = r_1 (f_1 \circ f_3 - f_3 \circ f_1) + r_2 (f_2 \circ f_3 - f_3 \circ f_2) = r_1 [f_1, f_3] + r_2 [f_2, f_3]\); \([f_3, r_1 f_1 + r_2 f_2] = f_3 \circ (r_1 f_1 + r_2 f_2) - (r_1 f_1 + r_2 f_2) \circ f_3 = r_1 f_3 \circ f_1 + r_2 f_3 \circ f_2 - r_1 f_1 \circ f_3 - r_2 f_2 \circ f_3 = r_1 (f_3 \circ f_1 - f_1 \circ f_3) + r_2 (f_3 \circ f_2 - f_2 \circ f_3) = r_1 [f_3, f_1] + r_2 [f_3, f_2]\)。
2) \([f_2, f_1] = - [f_1, f_2]\): \([f_2, f_1] = f_2 \circ f_1 - f_1 \circ f_2 = - (f_1 \circ f_2 - f_2 \circ f_1) = - [f_1, f_2]\)。
3) \(\sum_{cyclic} [f_1, [f_2, f_3]] = 0\): \([f_1, [f_2, f_3]] + [f_2, [f_3, f_1]] + [f_3, [f_1, f_2]] = [f_1, (f_2 \circ f_3 - f_3 \circ f_2)] + [f_2, (f_3 \circ f_1 - f_1 \circ f_3)] + [f_3, (f_1 \circ f_2 - f_2 \circ f_1)] = f_1 \circ (f_2 \circ f_3 - f_3 \circ f_2) - (f_2 \circ f_3 - f_3 \circ f_2) \circ f_1 + f_2 \circ (f_3 \circ f_1 - f_1 \circ f_3) - (f_3 \circ f_1 - f_1 \circ f_3) \circ f_2 + f_3 \circ (f_1 \circ f_2 - f_2 \circ f_1) - (f_1 \circ f_2 - f_2 \circ f_1) \circ f_3 = f_1 \circ f_2 \circ f_3 - f_1 \circ f_3 \circ f_2 - f_2 \circ f_3 \circ f_1 + f_3 \circ f_2 \circ f_1 + f_2 \circ f_3 \circ f_1 - f_2 \circ f_1 \circ f_3 - f_3 \circ f_1 \circ f_2 + f_1 \circ f_3 \circ f_2 + f_3 \circ f_1 \circ f_2 - f_3 \circ f_2 \circ f_1 - f_1 \circ f_2 \circ f_3 + f_2 \circ f_1 \circ f_3 = 0\)。
