%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(*V\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)で任意の\(+: V \times V \to V\)（アディション（加法））オペレーションおよび任意の\(.: F \times V \to V\)（スカラーマルチプリケーション（乗法））オペレーションを持つもの
//
コンディションたち:
1) \(\forall v_1, v_2 \in V (v_1 + v_2 \in V)\)（アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）
2) \(\forall v_1, v_2 \in V (v_1 + v_2 = v_2 + v_1)\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））
3) \(\forall v_1, v_2, v_3 \in V ((v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3))\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））
4) \(\exists 0 \in V (\forall v \in V (v + 0 = v))\)（0要素の存在）
5) \(\forall v \in V (\exists v' \in V (v' + v = 0))\)（インバース（逆）要素の存在）
6) \(\forall v \in V, \forall r \in F (r . v \in V)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）
7) \(\forall v \in V, \forall r_1, r_2 \in F ((r_1 + r_2) . v = r_1 . v + r_2 . v)\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））
8) \(\forall v_1, v_2 \in V, \forall r \in F (r . (v_1 + v_2) = r . v_1 + r . v_2)\)（要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））
9) \(\forall v \in V, \forall r_1, r_2 \in F ((r_1 r_2) . v = r_1 . (r_2 . v))\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））
10) \(\forall v \in V (1 . v = v)\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））
\(V\)の任意の要素は"ベクトル"と呼ばれる。
2: 注
\(.\)は記法としてしばしば省略され、\(r v\)のようになる、\(r . v\)の代わりに。
任意の'リニアナンバー（実数）たちフィールド（体）'ベクトルたちスペース（空間）および任意の'コンプレックスナンバー（複素数）たちフィールド（体）'ベクトルたちスペース（空間）は、それぞれ、しばしばリニア（実）ベクトルたちスペース（空間）およびコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）と呼ばれる。
任意のフィールド（体）はリング（環）であるから、任意のベクトルたちスペース（空間）はモジュールである。
任意のモジュール（加群）でそのリング（環）がフィールド（体）であるものは、ベクトルたちスペース（空間）である、なぜなら、"コンディションたち"たちは実質的に同一である、したがって、当該モジュール（加群）はベクトルたちスペース（空間）に対する"コンディションたち"を満たす。
