2023年11月12日日曜日

406: %フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）

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%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 定義


任意のセット（集合）Vで任意の+（アディション（加算））オペレーションおよび任意のフィールド（体）Fに関する任意の.（スカラーマルチプリケーション（乗法））オペレーションを持ち、以下の条件たちを満たすもの（Vの任意の要素は'ベクトル'と呼ばれる）、つまり、1) 任意の要素たちv1,v2∈Vに対して、v1+v2∈V（アディション（加法）の下で閉じていること）; 2) 任意の要素たちv1,v2∈Vに対して、v1+v2=v2+v1（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））; 3) 任意の要素たちv1,v2,v3∈Vに対して、(v1+v2)+v3=v1+(v2+v3)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））; 4) 以下ある0要素0∈V、つまり、任意のv∈Vに対して、v+0=v、がある（0ベクトルの存在）; 5) 任意の要素v∈Vに対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素v′∈V、つまり、v′+v=0、がある（インバース（逆）ベクトルの存在）; 6) 任意の要素v∈V、任意のスカラーr∈Fに対して、r.v∈V（スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること）; 7) 任意の要素v∈V、任意のスカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1+r2).v=r1.v+r2.v（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））; 8) 任意の要素たちv1,v2∈V、任意のスカラーr∈Fに対して、r.(v1+v2)=r.v1+r.v2（ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））; 9) 任意の要素v∈V、任意のスカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1r2).v=r1.(r2.v)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））; 10) 任意の要素v∈Vに対して、1.v=v（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性 ））

2: 注


.はしばしばrvのような記法たちにおいて省略される、r.vの代わりに。

任意の'リニアナンバー（実数）たちフィールド（体）'ベクトルたちスペース（空間）および任意の'コンプレックスナンバー（複素数）たちフィールド（体）'ベクトルたちスペース（空間）は、それぞれ、しばしばリニア（実）ベクトルたちスペース（空間）およびコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）と呼ばれる。

任意のフィールド（体）はリング（環）であるから、任意のベクトルたちスペース（空間）はモジュールである。

参考資料
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