%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 定義
任意のセット（集合）\(V\)で任意の\(+\)（アディション（加算））オペレーションおよび任意のフィールド（体）\(F\)に関する任意の\(.\)（スカラーマルチプリケーション（乗法））オペレーションを持ち、以下の条件たちを満たすもの（\(V\)の任意の要素は'ベクトル'と呼ばれる）、つまり、1) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in V\)に対して、\(v_1 + v_2 \in V\)（アディション（加法）の下で閉じていること）; 2) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in V\)に対して、\(v_1 + v_2 = v_2 + v_1\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））; 3) 任意の要素たち\(v_1, v_2, v_3 \in V\)に対して、\((v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3)\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））; 4) 以下ある0要素\(0 \in V\)、つまり、任意の\(v \in V\)に対して、\(v + 0 = v\)、がある（0ベクトルの存在）; 5) 任意の要素\(v \in V\)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素\(v' \in V\)、つまり、\(v' + v = 0\)、がある（インバース（逆）ベクトルの存在）; 6) 任意の要素\(v \in V\)、任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . v \in V\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること）; 7) 任意の要素\(v \in V\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 + r_2) . v = r_1 . v + r_2 . v\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））; 8) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in V\)、任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . (v_1 + v_2) = r . v_1 + r . v_2\)（ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））; 9) 任意の要素\(v \in V\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 r_2) . v = r_1 . (r_2 . v)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））; 10) 任意の要素\(v \in V\)に対して、\(1 . v = v\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性 ））
2: 注
\(.\)はしばしば\(r v\)のような記法たちにおいて省略される、\(r . v\)の代わりに。
任意の'リニアナンバー（実数）たちフィールド（体）'ベクトルたちスペース（空間）および任意の'コンプレックスナンバー（複素数）たちフィールド（体）'ベクトルたちスペース（空間）は、それぞれ、しばしばリニア（実）ベクトルたちスペース（空間）およびコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）と呼ばれる。
任意のフィールド（体）はリング（環）であるから、任意のベクトルたちスペース（空間）はモジュールである。
