リーアルジェブラ（多元環）の定義
話題
About: リーアルジェブラ（多元環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リーアルジェブラ（多元環）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{F \text{ 上方の全てのベクトルたちスペースたち }\}\)で、\([\bullet, \bullet]: V \times V \to V\)を持つもの
//
コンディションたち:
\(\forall v_1, v_2, v_3 \in V, \forall r_1, r_2 \in F\)
(
1) \([r_1 v_1 + r_2 v_2, v_3] = r_1 [v_1, v_3] + r_2 [v_2, v_3]\) \(\land\) \([v_3, r_1 v_1 + r_2 v_2] = r_1 [v_3, v_1] + r_2 [v_3, v_2]\)
\(\land\)
2) \([v_2, v_1] = - [v_1, v_2]\)
\(\land\)
3) \(\sum_{cyclic} [v_1, [v_2, v_3]] = 0\)
)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)上方の任意のベクトルたちスペース\(V\)で以下を満たす任意のブラケット\([\bullet, \bullet]: V \times V \to V\)を持つもの、つまり、任意の\(v_1, v_2, v_3 \in V\)および任意の\(r_1, r_2 \in F\)に対して、 1) \([r_1 v_1 + r_2 v_2, v_3] = r_1 [v_1, v_3] + r_2 [v_2, v_3]\)および\([v_3, r_1 v_1 + r_2 v_2] = r_1 [v_3, v_1] + r_2 [v_3, v_2]\); 2) \([v_2, v_1] = - [v_1, v_2]\) 3) \(\sum_{cyclic} [v_1, [v_2, v_3]] = 0\)
3: 注
リーアルジェブラ（多元環）は必ずしも本当にアルジェブラ（多元環）ではない、なぜなら、アソシアティブ性\([ [v_1, v_2], v_3] = [v_1, [v_2, v_3]]\)は成立すると保証されていない。
