31: リーアルジェブラ（多元環）|T.B.P.日本語版

2022年2月20日日曜日

31: リーアルジェブラ（多元環）

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リーアルジェブラ（多元環）の定義

話題

About: リーアルジェブラ（多元環）

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 構造化された記述
2: 自然言語記述
3: 注

開始コンテキスト

読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
読者は、フィールド（体）の定義を知っている。

ターゲットコンテキスト

読者は、リーアルジェブラ（多元環）の定義を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

F

:

\in {全てのフィールド（体）たち}

V

:

\in {F 上方の全てのベクトルたちスペースたち}

で、

[∙, ∙] : V \times V \to V

を持つもの
//

コンディションたち:

\forall v_{1}, v_{2}, v_{3} \in V, \forall r_{1}, r_{2} \in F

(
1)

[r_{1} v_{1} + r_{2} v_{2}, v_{3}] = r_{1} [v_{1}, v_{3}] + r_{2} [v_{2}, v_{3}]

\land

[v_{3}, r_{1} v_{1} + r_{2} v_{2}] = r_{1} [v_{3}, v_{1}] + r_{2} [v_{3}, v_{2}]

\land

2)

[v_{2}, v_{1}] = - [v_{1}, v_{2}]

\land

3)

\sum_{c y c l i c} [v_{1}, [v_{2}, v_{3}]] = 0

)
//

2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）

F

上方の任意のベクトルたちスペース

V

で以下を満たす任意のブラケット

[∙, ∙] : V \times V \to V

を持つもの、つまり、任意の

v_{1}, v_{2}, v_{3} \in V

および任意の

r_{1}, r_{2} \in F

に対して、 1)

[r_{1} v_{1} + r_{2} v_{2}, v_{3}] = r_{1} [v_{1}, v_{3}] + r_{2} [v_{2}, v_{3}]

および

[v_{3}, r_{1} v_{1} + r_{2} v_{2}] = r_{1} [v_{3}, v_{1}] + r_{2} [v_{3}, v_{2}]

; 2)

[v_{2}, v_{1}] = - [v_{1}, v_{2}]

3)

\sum_{c y c l i c} [v_{1}, [v_{2}, v_{3}]] = 0

3: 注

不可避に、各

v \in V

に対して、

[v, 0] = [0, v] = 0

:

[v, 0] = [v, 0 v + 0 v] = 0 [v, v] + 0 [v, v] = 0 + 0 = 0

;

[0, v] = [0 v + 0 v, v] = 0 [v, v] + 0 [v, v] = 0 + 0 = 0

。

リーアルジェブラ（多元環）は、必ずしもアソシアティブ（結合的）ではないアルジェブラ（多元環）である:

[r_{1} v_{1} + r_{2} v_{2}, r_{1}^{'} v_{1}^{'} + r_{2}^{'} v_{2}^{'}] = r_{1} [v_{1}, r_{1}^{'} v_{1}^{'} + r_{2}^{'} v_{2}^{'}] + r_{2} [v_{2}, r_{1}^{'} v_{1}^{'} + r_{2}^{'} v_{2}^{'}] = r_{1} (r_{1}^{'} [v_{1}, v_{1}^{'}] + r_{2}^{'} [v_{1}, v_{2}^{'}]) + r_{2} (r_{1}^{'} [v_{2}, v_{1}^{'}] + r_{2}^{'} [v_{2}, v_{2}^{'}]) = (r_{1} r_{1}^{'}) [v_{1}, v_{1}^{'}] + (r_{1} r_{2}^{'}) [v_{1}, v_{2}^{'}]) + (r_{2} r_{1}^{'}) [v_{2}, v_{1}^{'}] + (r_{2} r_{2}^{'}) [v_{2}, v_{2}^{'}])

、しかし、アソシアティビティ（結合性）

[[v_{1}, v_{2}], v_{3}] = [v_{1}, [v_{2}, v_{3}]]

は成立する保証がない。

参考資料

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