リーアルジェブラ（多元環）の定義
話題
About: リーアルジェブラ（多元環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リーアルジェブラ（多元環）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{F \text{ 上方の全てのベクトルたちスペースたち }\}\)で、\([\bullet, \bullet]: V \times V \to V\)を持つもの
//
コンディションたち:
\(\forall v_1, v_2, v_3 \in V, \forall r_1, r_2 \in F\)
(
1) \([r_1 v_1 + r_2 v_2, v_3] = r_1 [v_1, v_3] + r_2 [v_2, v_3]\) \(\land\) \([v_3, r_1 v_1 + r_2 v_2] = r_1 [v_3, v_1] + r_2 [v_3, v_2]\)
\(\land\)
2) \([v_2, v_1] = - [v_1, v_2]\)
\(\land\)
3) \(\sum_{cyclic} [v_1, [v_2, v_3]] = 0\)
)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)上方の任意のベクトルたちスペース\(V\)で以下を満たす任意のブラケット\([\bullet, \bullet]: V \times V \to V\)を持つもの、つまり、任意の\(v_1, v_2, v_3 \in V\)および任意の\(r_1, r_2 \in F\)に対して、 1) \([r_1 v_1 + r_2 v_2, v_3] = r_1 [v_1, v_3] + r_2 [v_2, v_3]\)および\([v_3, r_1 v_1 + r_2 v_2] = r_1 [v_3, v_1] + r_2 [v_3, v_2]\); 2) \([v_2, v_1] = - [v_1, v_2]\) 3) \(\sum_{cyclic} [v_1, [v_2, v_3]] = 0\)
3: 注
不可避に、各\(v \in V\)に対して、\([v, 0] = [0, v] = 0\): \([v, 0] = [v, 0 v + 0 v] = 0 [v, v] + 0 [v, v] = 0 + 0 = 0\); \([0, v] = [0 v + 0 v, v] = 0 [v, v] + 0 [v, v] = 0 + 0 = 0\)。
リーアルジェブラ（多元環）は、必ずしもアソシアティブ（結合的）ではないアルジェブラ（多元環）である: \([r_1 v_1 + r_2 v_2, r'_1 v'_1 + r'_2 v'_2] = r_1 [v_1, r'_1 v'_1 + r'_2 v'_2] + r_2 [v_2, r'_1 v'_1 + r'_2 v'_2] = r_1 (r'_1 [v_1, v'_1] + r'_2 [v_1, v'_2]) + r_2 (r'_1 [v_2, v'_1] + r'_2 [v_2, v'_2]) = (r_1 r'_1) [v_1, v'_1] + (r_1 r'_2) [v_1, v'_2]) + (r_2 r'_1) [v_2, v'_1] + (r_2 r'_2) [v_2, v'_2])\)、しかし、アソシアティビティ（結合性）\([ [v_1, v_2], v_3] = [v_1, [v_2, v_3]]\)は成立する保証がない。
