コンティヌアス(連続)な、トポロジカルスペース(空間)たちマップ(写像)の定義
話題
About: トポロジカルスペース(空間)
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース(空間)の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース(空間)たちマップ(写像)でポイントにおいてコンティニュアス(連続)なものの定義を知っている。
- 読者は、オープン(開)であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、コンティヌアス(連続)な、トポロジカルスペース(空間)たちマップ(写像)の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ(実体)たち:
\( T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
\( T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
\(*f\): \(: T_1 \to T_2\)
//
コンディションたち:
\(\forall t \in T_1 (f \in \{t \text{ においてコンティニュアス(連続)な全てのマップ(写像)たち }\})\)
//
2: 注
当該定義は、実のところ実のところ以下の定義と同値である: 任意のトポロジカルスペース(空間)たち\(T_1\)および\(T_2\)に対して、以下を満たす任意のマップ\(f: T_1 \to T_2\)、つまり、\(T_2\)の任意のオープンサブセット(開部分集合)のプリイメージ(前像)はオープンサブセット(開部分集合)である。それは、なぜなら、本定義を仮定すると、任意のオープンサブセット(開部分集合)\(U \subseteq T_2\)および当該プリイメージ(前像)\(S\)に対して、任意のポイント\(p \in S\)は\(f (p) \in U\)を満たす、しかし、\(U\)は\(f (p)\)のネイバーフッド(近傍)である、したがって、\(p\)の以下を満たすあるネイバーフッド(近傍)\(U_p\)、つまり、\(f (U_p) \subseteq U\)、がある、それが意味するのは、\(U_p \subseteq S\)、したがって、オープン(開)であることのローカル基準によって、\(S\)はオープン(開)である; 当該代替定義を仮定すると、\(f (p)\)の任意のネイバーフッド(近傍)\(U\)に対して、当該プリイメージ(前像)\(S\)はオープンサブセット(開部分集合)である、それは、\(p\)のネイバーフッド(近傍)であり、\(f (S) \subseteq U\)。