42: コンティヌアス（連続）マップ（写像）

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コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 定義
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ポイントにおいてコンティヌアス（連続）なマップ（写像）を知っている。
• 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 定義

任意のトポロジカルスペース（空間）$T_1$および$T_2$に対して、次を満たす任意のマップ$f:T_1\to T_2$、つまり、各ポイントにおいてコンティヌアス（連続）である

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2: 注

本定義は実のところ以下の定義と同値である: 任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1$および$T_2$に対して、以下を満たす任意のマップ$f:T_1\to T_2$、つまり、$T_2$上の任意の任意のオープンセット（開集合）のプリイメージ（前像）がオープンセット（開集合）である。それは、なぜなら、$\to$は、任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T_2$およびそのプリイメージ（前像）$S$に対して、任意のポイント$p\in S$は$f(p)\in U$を満たす、しかし$U$は$f(p)$の近傍であり、したがって、以下を満たす$p$のある近傍$U_p$、つまり$f(U_p)\subseteq U$、があり、それは、$U_p\subseteq S$を意味する、したがって、オープン（開）であることのローカル基準によって、Sはオープン（開）である; $\leftarrow$は、任意の$f(p)$の近傍Uに対して、そのプリイメージ（前像）$S$はオープンセット（開集合）であり、それはpの近傍であり、$f(S)\subseteq U$である。

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参考資料

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