コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ポイントにおいてコンティヌアス（連続）なマップ（写像）を知っている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 定義
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T_1\)および\(T_2\)に対して、次を満たす任意のマップ\(f: T_1 \to T_2\)、つまり、各ポイントにおいてコンティヌアス（連続）である
2: 注
本定義は実のところ以下の定義と同値である: 任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1\)および\(T_2\)に対して、以下を満たす任意のマップ\(f: T_1 \to T_2\)、つまり、\(T_2\)上の任意の任意のオープンセット（開集合）のプリイメージ（前像）がオープンセット（開集合）である。それは、なぜなら、\(\rightarrow\)は、任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T_2\)およびそのプリイメージ（前像）\(S\)に対して、任意のポイント\(p \in S\)は\(f (p) \in U\)を満たす、しかし\(U\)は\(f (p)\)の近傍であり、したがって、以下を満たす\(p\)のある近傍\(U_p\)、つまり\(f (U_p) \subseteq U\)、があり、それは、\(U_p \subseteq S\)を意味する、したがって、オープン（開）であることのローカル基準によって、Sはオープン（開）である; \(\leftarrow\)は、任意の\(f (p)\)の近傍Uに対して、そのプリイメージ（前像）\(S\)はオープンセット（開集合）であり、それはpの近傍であり、\(f (S) \subseteq U\)である。
