コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）でポイントにおいてコンティニュアス（連続）なものの定義を知っている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\( T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(*f\): \(: T_1 \to T_2\)
//
コンディションたち:
\(\forall t \in T_1 (f \in \{t \text{ においてコンティニュアス（連続）な全てのマップ（写像）たち }\})\)
//
2: 注
当該定義は、実のところ実のところ以下の定義と同値である: 任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1\)および\(T_2\)に対して、以下を満たす任意のマップ\(f: T_1 \to T_2\)、つまり、\(T_2\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）のプリイメージ（前像）はオープンサブセット（開部分集合）である。それは、なぜなら、本定義を仮定すると、任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq T_2\)および当該プリイメージ（前像）\(S\)に対して、任意のポイント\(p \in S\)は\(f (p) \in U\)を満たす、しかし、\(U\)は\(f (p)\)のネイバーフッド（近傍）である、したがって、\(p\)の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(U_p\)、つまり、\(f (U_p) \subseteq U\)、がある、それが意味するのは、\(U_p \subseteq S\)、したがって、オープン（開）であることのローカル基準によって、\(S\)はオープン（開）である; 当該代替定義を仮定すると、\(f (p)\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(U\)に対して、当該プリイメージ（前像）\(S\)はオープンサブセット（開部分集合）である、それは、\(p\)のネイバーフッド（近傍）であり、\(f (S) \subseteq U\)。
