パスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルパスの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、パスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 定義
以下を満たす任意のトポロジカルスペース（空間）T、つまり、任意のポイント\(p_1, p_2 \in T\)に対して、それらのポイントはあるパス\(\lambda: [r_1, r_2] \rightarrow T\)によって連結できる、ここで、\([r_1, r_2]\)は\(\mathbb{R}\)上の任意のクローズド（閉）インターバル（区間）であり、 ターミナルポイント（端点）は、\(p_1 = \lambda (r_1)\)および\(p_2 = \lambda (r_2)\)
2: 注
それはパスでなければならない、単なるカーブではなく。
'パスコネクト（連結）された'は常にトポロジカルスペース（空間）としてであり、あるトポロジカルスペース（空間）上のサブセット（部分集合）としてではない、それが意味するのは、あるサブセット（部分集合）がパスコネクト（連結）されていると言われる時、それはトポロジカルサブスペース（部分空間）としてである、それが意味するのは、それを包含するトポロジカルスペース（空間）へのマップ（写像）としてコンティニュアス（連続）なパスがあるか否かではなく、当該サブスペース（部分空間）へのマップ（写像）としてコンティニュアス（連続）なパスがあるか否かである。しかし、実のところ、もしも、パスが包含スペース（空間）上のものとしてコンティニュアス（連続）であれば、それはサブスペース（部分空間）上のものとしてコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、そして、もしも、パスがサブスペース（部分空間）上のものとしてコンティニュアス（連続）であれば、それは包含スペース（空間）上のものとしてコンティニュアス（連続）である、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、したがって、区別は実際には問題にはならない。
\([r_1, r_2]\)を\([0, 1]\)または任意の\(r_3 \neq r_4\)である\([r_3, r_4]\)であるように要求することができる、なぜなら、もしも、ある\(\lambda: [r_1, r_2] \rightarrow T\)があれば、\({\lambda}': [r_3, r_4] \rightarrow [r_1, r_2] \rightarrow T\)、ここで、\(f: [r_3, r_4] \rightarrow [r_1, r_2]\)は\(r \mapsto r_1 + \frac{r_2 - r_1}{r_4 - r_3} (r - r_3)\)、があるから。
