45: パスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）

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パスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）の定義

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 定義
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルパスの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、パスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 定義

以下を満たす任意のトポロジカルスペース（空間）T、つまり、任意のポイント$p_1,p_2\in T$に対して、それらのポイントはあるパス$\lambda :[r_1,r_2]\to T$によって連結できる、ここで、$[r_1,r_2]$は$\mathbb{R}$上の任意のクローズド（閉）インターバル（区間）であり、 ターミナルポイント（端点）は、$p_1=\lambda (r_1)$および$p_2=\lambda (r_2)$

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2: 注

それはパスでなければならない、単なるカーブではなく。

'パスコネクト（連結）された'は常にトポロジカルスペース（空間）としてであり、あるトポロジカルスペース（空間）上のサブセット（部分集合）としてではない、それが意味するのは、あるサブセット（部分集合）がパスコネクト（連結）されていると言われる時、それはトポロジカルサブスペース（部分空間）としてである、それが意味するのは、それを包含するトポロジカルスペース（空間）へのマップ（写像）としてコンティニュアス（連続）なパスがあるか否かではなく、当該サブスペース（部分空間）へのマップ（写像）としてコンティニュアス（連続）なパスがあるか否かである。しかし、実のところ、もしも、パスが包含スペース（空間）上のものとしてコンティニュアス（連続）であれば、それはサブスペース（部分空間）上のものとしてコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、そして、もしも、パスがサブスペース（部分空間）上のものとしてコンティニュアス（連続）であれば、それは包含スペース（空間）上のものとしてコンティニュアス（連続）である、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、したがって、区別は実際には問題にはならない。

$[r_1,r_2]$を$[0,1]$または任意の$r_3\ne r_4$である$[r_3,r_4]$であるように要求することができる、なぜなら、もしも、ある$\lambda :[r_1,r_2]\to T$があれば、${\lambda }^{\prime }:[r_3,r_4]\to [r_1,r_2]\to T$、ここで、$f:[r_3,r_4]\to [r_1,r_2]$は$r\mapsto r_1+\frac{r_2-r_1}{r_4-r_3}(r-r_3)$、があるから。

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参考資料

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