205: コンティニュアス（連続）マップ（写像）のエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）である

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コンティニュアス（連続）マップ（写像）のエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン性は、そのトポロジカルスペース（空間）がどのスーパースペースのサブスペース（部分空間）だとみなされるかに依存しないという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）たち $T_3\subseteq T_4\subseteq T_2$、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）$f:T_1\to T_3$に対して、$f$のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）としての$f^{\prime }:T_1\to T_4$はコンティニュアス（連続）である。

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2: 証明

任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T_4$に対して、${f^{\prime }}^{-1}(U)$はオープン（開）か？${f^{\prime }}^{-1}(U)={f^{\prime }}^{-1}(U\cap T_3)$、なぜなら、$f^{\prime }(T_1)\subseteq T_3$。${f^{\prime }}^{-1}(U\cap T_3)=f^{-1}(U\cap T_3)$、なぜなら、$f^{\prime }$と$f$は実質的に同じだから。$U\cap T_3$は$T_3$上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、$T_3$が$T_4$のサブスペース（部分空間）とみなされるか$T_2$のサブスペース（部分空間）とみなされるかに関係なく、サブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン性は、そのトポロジカルスペース（空間）がどのスーパースペースのサブスペース（部分空間）だとみなされるかに依存しないという命題によって。$f$はコンティニュアス（連続）であるから、$f^{-1}(U\cap T_3)$はオープン（開）である、そして、${f^{\prime }}^{-1}(U)$もそうである。

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参考資料

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