コンティニュアス（連続）マップ（写像）のエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）たち \(T_3 \subseteq T_4 \subseteq T_2\)、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_3\)に対して、\(f\)のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）としての\(f': T_1 \rightarrow T_4\)はコンティニュアス（連続）である。
2: 証明
任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T_4\)に対して、\({f'}^{-1} (U)\)はオープン（開）か？\({f'}^{-1} (U) = {f'}^{-1} (U \cap T_3)\)、なぜなら、\(f' (T_1) \subseteq T_3\)。\({f'}^{-1} (U \cap T_3) = {f}^{-1} (U \cap T_3)\)、なぜなら、\(f'\)と\(f\)は実質的に同じだから。\(U \cap T_3\)は\(T_3\)上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、\(T_3\)が\(T_4\)のサブスペース（部分空間）とみなされるか\(T_2\)のサブスペース（部分空間）とみなされるかに関係なく、サブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン性は、そのトポロジカルスペース（空間）がどのスーパースペースのサブスペース（部分空間）だとみなされるかに依存しないという命題によって。\(f\)はコンティニュアス（連続）であるから、\({f}^{-1} (U \cap T_3)\)はオープン（開）である、そして、\({f'}^{-1} (U)\)もそうである。
