ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のデリバティブ（微分係数）のレシデュー（残余）は第2引数のポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）である、もしも、元のマップ（写像）が対応するポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）である場合、そしてデリバティブ（微分係数）は第1引数ポイントにおける元のマップ（写像）デリバティブ（微分係数）のマイナスプラス対応するポイントにおける元のマップ（写像）デリバティブ（微分係数）、ことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のデリバティブ（微分係数）のレシデュー（残余）は第2引数の任意のポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）である、もしも、元のマップ（写像）が対応するポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）である場合、そしてデリバティブ（微分係数）は第1引数ポイントにおける元のマップ（写像）デリバティブ（微分係数）のマイナスプラス対応するポイントにおける元のマップ（写像）デリバティブ（微分係数）である、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
以下を満たす任意のディファレンシャルブル（微分可能）マップ（写像）\(f: V_1 \to V_2\)、つまり、\(f (v_{11} + v_{12}) = f (v_{11}) + (Df (v_{11})) (v_{12}) + r (v_{11}, v_{12})\)に対して、レシデュー（残余）\(r (v_{11}, v_{12})\)は第2引数に関して\(v_{12}\)においてディファレンシャルブル（微分可能）であり、デリバティブ（微分係数）は\(- Df (v_{11}) + Df (v_{11} + v_{12})\)である、もしも、\(f\)が\(v_{11} + v_{12}\)においてディファレンシャルブル（微分可能）である場合。
2: 証明
\(f\)は\(v_{11}\)においてだけでなく\(v_{11} + v_{12}\)においてもディファレンシャブル（微分可能）であると仮定する。$$f (v_{11} + v_{12} + v_{13}) = f (v_{11}) + (Df (v_{11})) (v_{12} + v_{13}) + r (v_{11}, v_{12} + v_{13}) = f (v_{11} + v_{12}) + (Df (v_{11} + v_{12})) (v_{13}) + r (v_{11} + v_{12}, v_{13})$$ $$ = f (v_{11}) + (Df (v_{11})) (v_{12}) + r (v_{11}, v_{12}) + (Df (v_{11} + v_{12})) (v_{13}) + r (v_{11} + v_{12}, v_{13})$$。 したがって、$$r (v_{11}, v_{12} + v_{13}) = r (v_{11}, v_{12}) + (- Df (v_{11}) + Df (v_{11} + v_{12})) (v_{13}) + r (v_{11} + v_{12}, v_{13})$$。しかし、$$lim_{v_{13} \Rightarrow 0} \frac{\Vert r (v_{11} + v_{12}, v_{13})\Vert}{\Vert v_{13}\Vert} = 0$$、それが意味するのは、\(r\)は\(v_{12}\)においてディファレンシャブル（微分可能）で、デリバティブ（微分係数）は\(- Df (v_{11}) + Df (v_{11} + v_{12})\)である。
