50: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のデリバティブ（微分係数）のレシデュー（残余）は第2引数のポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）である、もしも、元のマップ（写像）が対応するポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）である場合、そしてデリバティブ（微分係数）は第1引数ポイントにおける元のマップ（写像）デリバティブ（微分係数）のマイナスプラス対応するポイントにおける元のマップ（写像）デリバティブ（微分係数）

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のデリバティブ（微分係数）のレシデュー（残余）は第2引数のポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）である、もしも、元のマップ（写像）が対応するポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）である場合、そしてデリバティブ（微分係数）は第1引数ポイントにおける元のマップ（写像）デリバティブ（微分係数）のマイナスプラス対応するポイントにおける元のマップ（写像）デリバティブ（微分係数）、ことの記述/証明

---

話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のデリバティブ（微分係数）のレシデュー（残余）は第2引数の任意のポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）である、もしも、元のマップ（写像）が対応するポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）である場合、そしてデリバティブ（微分係数）は第1引数ポイントにおける元のマップ（写像）デリバティブ（微分係数）のマイナスプラス対応するポイントにおける元のマップ（写像）デリバティブ（微分係数）である、という命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

以下を満たす任意のディファレンシャルブル（微分可能）マップ（写像）$f:V_1\to V_2$、つまり、$f(v_{11}+v_{12})=f(v_{11})+(Df(v_{11}))(v_{12})+r(v_{11},v_{12})$に対して、レシデュー（残余）$r(v_{11},v_{12})$は第2引数に関して$v_{12}$においてディファレンシャルブル（微分可能）であり、デリバティブ（微分係数）は$-Df(v_{11})+Df(v_{11}+v_{12})$である、もしも、$f$が$v_{11}+v_{12}$においてディファレンシャルブル（微分可能）である場合。

---

2: 証明

$f$は$v_{11}$においてだけでなく$v_{11}+v_{12}$においてもディファレンシャブル（微分可能）であると仮定する。$$f(v_{11}+v_{12}+v_{13})=f(v_{11})+(Df(v_{11}))(v_{12}+v_{13})+r(v_{11},v_{12}+v_{13})=f(v_{11}+v_{12})+(Df(v_{11}+v_{12}))(v_{13})+r(v_{11}+v_{12},v_{13})$$ $$=f(v_{11})+(Df(v_{11}))(v_{12})+r(v_{11},v_{12})+(Df(v_{11}+v_{12}))(v_{13})+r(v_{11}+v_{12},v_{13})$$。 したがって、$$r(v_{11},v_{12}+v_{13})=r(v_{11},v_{12})+(-Df(v_{11})+Df(v_{11}+v_{12}))(v_{13})+r(v_{11}+v_{12},v_{13})$$。しかし、$$li{m}_{v_{13}\Rightarrow 0}\frac{\Vert r(v_{11}+v_{12},v_{13})\Vert }{\Vert v_{13}\Vert }=0$$、それが意味するのは、$r$は$v_{12}$においてディファレンシャブル（微分可能）で、デリバティブ（微分係数）は$-Df(v_{11})+Df(v_{11}+v_{12})$である。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>