268: ユークリディアンノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のためのインバース（逆）定理

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ユークリディアンノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のためのインバース（逆）定理の記述/証明

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話題

About: ノルム付きスペース（空間）
About: マップ（写像）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアンノルム付きスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、ノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
• 読者は、収斂マッピングの法則を認めている。
• 読者は、$C^1$、ユークリディアンノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）はヤコビアンであるという命題を認めている。
• 読者は、ノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）の残余は第2引数のポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）である、もしも元のマップ（写像）が、対応するポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）であればという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ユークリディアンノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のためのインバース（逆）定理の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のユークリディアンノルム付きスペース（空間）${\mathbb{R}}^d$および${\mathbb{R}}^d$および任意のポイント近傍$U_{v_{11}}$、$v_{11}\in {\mathbb{R}}^d$に対して、以下を満たす任意のマップ（写像）$f:U_{v_{11}}\to {\mathbb{R}}^d$、つまり、それは$U_{v_{11}}$で$C^k$（$1\le k$）であり、$v_{11}$におけるそのデリバティブ（微分係数）$Df(v_{11})$はインバーティブル（可逆）である、は$f(v_{11})=v_{21})$のある近傍でインバーティブル（可逆）であり、そのインバース（逆）マップ（写像）は$C^k$である。

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2: 証明

$$f(v_{11}+v_{12})=f(v_{11})+(Df(v_{11}))(v_{12})+r(v_{11},v_{12})=v_{21}+v_{22}、$$ それが$v_{12}$に対して$v_{22}$によって$v_{12}=g(v_{22})$として解かれなければならない。$$v_{12}=(Df(v_{11}){)}^{-1}(v_{22}-r(v_{11},v_{12})):=T_{v_{22}}(v_{12}).$$ 集合$S_{v_{22}}=\{v_1|v_{11}+v_1\in U_{v_{11}}\text{ and }\Vert v_1-((Df(v_{11}){)}^{-1})(v_{22})\Vert \le M_{v_{22}}\}$、ここで$M_{v_{22}}:=su{p}_{\Vert v_1\Vert \le 2\Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})(v_{22})\Vert }\Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})(r(v_{11},v_1))\Vert$を定義する。そのマップ（写像）$T_{v_{22}}$の、ドメイン（定義域）を$S_{v_{22}}$としたものは、実際のところ$T_{v_{22}}:S_{v_{22}}\to S_{v_{22}}$である、もしも$\Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})(v_{22})\Vert$が十分に小さければ、以下の理由によって: $\Vert v_1-((Df(v_{11}){)}^{-1})(v_{22})\Vert \le M_{v_{22}}$であるので、$\Vert v_1\Vert -\Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})(v_{22})\Vert \le M_{v_{22}}$であり、したがって、$\Vert v_1\Vert \le \Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})(v_{22})\Vert +M_{v_{22}}$、しかし、任意の$0<\epsilon$に対して、以下を満たすある$\delta$がある、つまり、$\{\mathrm{\forall }{v}_1|\Vert v_1\Vert <\delta \}$に対して、$\frac{\Vert r(v_{11},v_1)\Vert }{\Vert v_1\Vert }<\epsilon$、したがって、$\Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})(r(v_{11},v_1))\Vert \le \Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})\Vert \Vert (r(v_{11},v_1))\Vert <\Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})\Vert \Vert v_1\Vert \epsilon$、したがって、もしも、$2\Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})(v_{22})\Vert <\delta$であれば、$M_{v_{22}}\le \Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})\Vert 2\Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})(v_{22})\Vert \epsilon$であり、そうしたら、$\epsilon =2^{-1}\Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1}){\Vert }^{-1}$と取る、すると、$M_{v_{22}}\le \Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})(v_{22})\Vert$、したがって、$\Vert v_1\Vert \le \Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})(v_{22})\Vert +M_{v_{22}}\le 2\Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})(v_{22})\Vert$、すると、$\Vert T_{v_{22}}(v_1)-((Df(v_{11}){)}^{-1})(v_{22})\Vert =\Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})(r(v_{11},v_1))\Vert \le M_{v_{22}}$である。そのドメイン（定義域）の$T_{v_{22}}$は、ある十分に小さい$v_{22}$に対して、差のノルムを距離として取った収斂である、なぜなら、$\Vert T_{v_{22}}(v_{121})-T_{v_{22}}(v_{122})\Vert =\Vert (Df(v_{11}){)}^{-1}(r(v_{11},v_{122})-r(v_{11},v_{121}))\Vert \le \Vert (Df(v_{11}){)}^{-1}\Vert \Vert r(v_{11},v_{122})-r(v_{11},v_{121})\Vert$、しかし、rは第2引数についてディファレンシャブル（微分可能）であり、そのヤコビアンはコンティヌアス（連続）である、なぜならそれはfのいくつかのヤコビアンで表わされ、それらはコンティヌアス（連続）であるから、したがって、平均値の定理によって、それは、$\Vert (Df(v_{11}){)}^{-1}\Vert \Vert Dr(v_{11},v_{123})\Vert \Vert v_{122}-v_{121}\Vert$、しかし、$Dr(v_{11},0)=0$でコンティヌアス（連続）であるから、もしも$v_{22}$が十分に小さければ、$v_{123}$が十分に小さく、$\Vert (Df(v_{11}){)}^{-1}\Vert \Vert Dr(v_{11},v_{123})\Vert <1$。したがって、収斂マッピングの法則によって、以下を満たす唯一の固定点$v_{12}$があり、つまり、$T_{v_{22}}(v_{12})=v_{12}$、それが、求められていた値である。$v_{12}\in S_{v_{12}}$なので、$\Vert v_{12}-((Df(v_{11}){)}^{-1})(v_{22})\Vert \le M_{v_{22}}$、しかし、$li{m}_{\Vert v_{22}\Vert \to 0}\frac{M_{v_{22}}}{\Vert v_{22}\Vert }=0$（それは、$M_{v_{22}}$の定義および$li{m}_{\Vert v_1\Vert \to 0}\frac{\Vert r(v_{11},v_1)\Vert }{\Vert v_1\Vert }$からくる）、それは、$v_{12}=g(v_{22})$は0においてディファレンシャブル（微分可能）でデリバティブ（微分係数）が$(Df(v_{11}){)}^{-1}$であることに他ならず、それは、$f^{-1}$は同じデリバティブ（微分係数）でディファレンシャブル（微分可能）であることを意味する、なぜなら、$f^{-1}(v_{21}+v_{22})=v_{11}+g(v_{22})=f^{-1}(v_{21})+(Dg(0))(v_{22})+r(0,v_{22})$。$D(f^{-1})=(Df(v_{11}){)}^{-1}=(Df(f^{-1}(v_{21})){)}^{-1}$は、$v_{21}$に関してコンティヌアス（連続）である、なぜなら、$f^{-1}$はディファレンシャブル（微分可能）でコンティヌアス（連続）であり、そのヤコビアンは$v_{11}$に関してコンティヌアス（連続）であり、逆行列はコンティヌアス（連続）性を保ち、そうしたコンティヌアス（連続）マップ（写像）の合成はコンティヌアス（連続）であるから。

これで、当定理は$C^1$に対して真であることが証明されたが、当定理が$C^{k-1}$に対して真であると仮定し、fは$C^k$であると仮定する。$D(f^{-1})=[\frac{\partial f}{\partial v_1}{]}^{-1}$において、右辺は$v_1$に関して$C^{k-1}$である、なぜなら、fは$C^k$なので$[\frac{\partial f}{\partial v_1}]$は$C^{k-1}$で、逆行列を取るのは$C^{k-1}$性を保ち、$v_1=f^{-1}(v_2)$は、$C^{k-1}$に対する当定理によって$C^{k-1}$なので、合成マップ（写像）として、右辺は$v_2$に関して$C^{k-1}$なので、左辺もそうであり、それは、$f^{-1}$は$C^k$であることを意味する。

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3: 注

可能な$v_{22}$の範囲が関心事であり、以下のように決定される、もっとも、以下はあまり単刀直入とは言えないが: 第1に、$\epsilon =2^{-1}\Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1}){\Vert }^{-1}$を取り、以下を満たすように$\delta$を取る、つまり、$\{\mathrm{\forall }{v}_1|\Vert v_1\Vert <\delta \}$に対して、$\frac{\Vert r(v_{11},v_1)\Vert }{\Vert v_1\Vert }<\epsilon$、そして、$v_{22}$を$2\Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})(v_{22})\Vert <\delta$として取る; 第2に、$v_{22}$を小さくして、$\{\mathrm{\forall }{v}_1|\Vert v_1-((Df(v_{11}){)}^{-1})(v_{22})\Vert \le su{p}_{\Vert v_1\Vert \le 2\Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})(v_{22})\Vert }\Vert ((Df(v_{11}){)}^{-1})(r(v_{11},v_1))\Vert \}$に対して、$\Vert (Df(v_{11}){)}^{-1}\Vert \Vert Dr(v_{11},v_1)\Vert <1$であるようにする。

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参考資料

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