ユークリディアンノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のためのインバース（逆）定理の記述/証明
話題
About: ノルム付きスペース（空間）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンノルム付きスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
- 読者は、収斂マッピングの法則を認めている。
- 読者は、\(C^1\)、ユークリディアンノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）はヤコビアンであるという命題を認めている。
- 読者は、ノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）の残余は第2引数のポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）である、もしも元のマップ（写像）が、対応するポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）であればという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ユークリディアンノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のためのインバース（逆）定理の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のユークリディアンノルム付きスペース（空間）\(\mathbb{R}^d\)および\(\mathbb{R}^d\)および任意のポイント近傍\(U_{v_{11}}\)、\(v_{11} \in \mathbb{R}^d\)に対して、以下を満たす任意のマップ（写像）\(f: U_{v_{11}} \rightarrow \mathbb{R}^d\)、つまり、それは\(U_{v_{11}}\)で\(C^k\)（\(1 \le k\)）であり、\(v_{11}\)におけるそのデリバティブ（微分係数）\(Df (v_{11})\)はインバーティブル（可逆）である、は\(f (v_{11}) = v_{21})\)のある近傍でインバーティブル（可逆）であり、そのインバース（逆）マップ（写像）は\(C^k\)である。
2: 証明
$$f (v_{11} + v_{12}) = f (v_{11}) + (Df (v_{11})) (v_{12}) + r (v_{11}, v_{12}) = v_{21} + v_{22}、$$ それが\(v_{12}\)に対して\(v_{22}\)によって\(v_{12} = g (v_{22})\)として解かれなければならない。$$v_{12} = (Df (v_{11}))^{-1} (v_{22} - r (v_{11}, v_{12})) := T_{v_{22}} (v_{12}).$$ 集合\(S_{v_{22}} = \{v_1| v_{11} + v_1 \in U_{v_{11}} \text{ and } \Vert v_1 - ( (Df (v_{11}))^{-1}) (v_{22})\Vert \le M_{v_{22}}\}\)、ここで\(M_{v_{22}} := sup_{\Vert v_1\Vert \le 2\Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) (v_{22})\Vert} \Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) (r (v_{11}, v_1))\Vert\)を定義する。そのマップ（写像）\(T_{v_{22}}\)の、ドメイン（定義域）を\(S_{v_{22}}\)としたものは、実際のところ\(T_{v_{22}}: S_{v_{22}} \rightarrow S_{v_{22}}\)である、もしも\(\Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) (v_{22})\Vert\)が十分に小さければ、以下の理由によって: \(\Vert v_1 - ( (Df (v_{11}))^{-1}) (v_{22})\Vert \le M_{v_{22}}\)であるので、\(\Vert v_1\Vert - \Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) (v_{22})\Vert \le M_{v_{22}}\)であり、したがって、\(\Vert v_1 \Vert \le \Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) (v_{22})\Vert + M_{v_{22}}\)、しかし、任意の\(0 \lt \varepsilon\)に対して、以下を満たすある\(\delta\)がある、つまり、\(\{\forall v_1| \Vert v_1 \Vert \lt \delta\}\)に対して、\(\frac{\Vert r (v_{11}, v_1) \Vert}{\Vert v_1 \Vert} \lt \varepsilon\)、したがって、\(\Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) (r (v_{11}, v_1)) \Vert \le \Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) \Vert \Vert (r (v_{11}, v_1)) \Vert \lt \Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) \Vert \Vert v_1 \Vert \varepsilon\)、したがって、もしも、\(2 \Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) (v_{22}) \Vert \lt \delta\)であれば、\(M_{v_{22}} \le \Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) \Vert 2 \Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) (v_{22}) \Vert \varepsilon\)であり、そうしたら、\(\varepsilon = 2^{-1} \Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) \Vert ^{-1}\)と取る、すると、\(M_{v_{22}} \le \Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) (v_{22}) \Vert\)、したがって、\(\Vert v_1 \Vert \le \Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) (v_{22}) \Vert + M_{v_{22}} \le 2 \Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) (v_{22}) \Vert\)、すると、\(\Vert T_{v_{22}} (v_1) - ( (Df (v_{11}))^{-1}) (v_{22}) \Vert = \Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) (r (v_{11}, v_1)) \Vert \le M_{v_{22}}\)である。そのドメイン（定義域）の\(T_{v_{22}}\)は、ある十分に小さい\(v_{22}\)に対して、差のノルムを距離として取った収斂である、なぜなら、\(\Vert T_{v_{22}} (v_{121}) - T_{v_{22}} (v_{122}) \Vert = \Vert (Df (v_{11}))^{-1} (r (v_{11}, v_{122}) - r(v_{11}, v_{121})) \Vert \le \Vert (Df (v_{11}))^{-1} \Vert \Vert r (v_{11}, v_{122}) - r(v_{11}, v_{121}) \Vert\)、しかし、rは第2引数についてディファレンシャブル（微分可能）であり、そのヤコビアンはコンティヌアス（連続）である、なぜならそれはfのいくつかのヤコビアンで表わされ、それらはコンティヌアス（連続）であるから、したがって、平均値の定理によって、それは、\(\Vert (Df (v_{11}))^{-1} \Vert \Vert Dr (v_{11}, v_{123}) \Vert \Vert v_{122} - v_{121} \Vert\)、しかし、\(Dr (v_{11}, 0) = 0\)でコンティヌアス（連続）であるから、もしも\(v_{22}\)が十分に小さければ、\(v_{123}\)が十分に小さく、\(\Vert (Df (v_{11}))^{-1} \Vert \Vert Dr (v_{11}, v_{123}) \Vert \lt 1\)。したがって、収斂マッピングの法則によって、以下を満たす唯一の固定点\(v_{12}\)があり、つまり、\(T_{v_{22}} (v_{12}) = v_{12}\)、それが、求められていた値である。\(v_{12} \in S_{v_{12}}\)なので、\(\Vert v_{12} - ( (Df (v_{11}))^{-1}) (v_{22}) \Vert \le M_{v_{22}}\)、しかし、\(lim_{\Vert v_{22} \Vert \rightarrow 0} \frac{M_{v_{22}}}{\Vert v_{22} \Vert} = 0\)（それは、\(M_{v_{22}}\)の定義および\(lim_{\Vert v_1 \Vert \rightarrow 0} \frac{\Vert r (v_{11}, v_1) \Vert}{\Vert v_1\Vert}\)からくる）、それは、\(v_{12} = g (v_{22})\)は0においてディファレンシャブル（微分可能）でデリバティブ（微分係数）が\((Df (v_{11}))^{-1}\)であることに他ならず、それは、\(f^{-1}\)は同じデリバティブ（微分係数）でディファレンシャブル（微分可能）であることを意味する、なぜなら、\(f^{-1} (v_{21} + v_{22}) = v_{11} + g (v_{22}) = f^{-1} (v_{21}) + (Dg (0)) (v_{22}) + r (0, v_{22})\)。\(D(f^{-1}) = (Df (v_{11}))^{-1} = (Df (f^{-1} (v_{21})))^{-1}\)は、\(v_{21}\)に関してコンティヌアス（連続）である、なぜなら、\(f^{-1}\)はディファレンシャブル（微分可能）でコンティヌアス（連続）であり、そのヤコビアンは\(v_{11}\)に関してコンティヌアス（連続）であり、逆行列はコンティヌアス（連続）性を保ち、そうしたコンティヌアス（連続）マップ（写像）の合成はコンティヌアス（連続）であるから。
これで、当定理は\(C^1\)に対して真であることが証明されたが、当定理が\(C^{k - 1}\)に対して真であると仮定し、fは\(C^k\)であると仮定する。\(D (f^{-1}) = [\frac{\partial f}{\partial v_{1}}]^{-1}\)において、右辺は\(v_1\)に関して\(C^{k - 1}\)である、なぜなら、fは\(C^k\)なので\([\frac{\partial f}{\partial v_{1}}]\)は\(C^{k - 1}\)で、逆行列を取るのは\(C^{k - 1}\)性を保ち、\(v_1 = f^{-1} (v_2)\)は、\(C^{k -1}\)に対する当定理によって\(C^{k - 1}\)なので、合成マップ（写像）として、右辺は\(v_2\)に関して\(C^{k - 1}\)なので、左辺もそうであり、それは、\(f^{-1}\)は\(C^k\)であることを意味する。
3: 注
可能な\(v_{22}\)の範囲が関心事であり、以下のように決定される、もっとも、以下はあまり単刀直入とは言えないが: 第1に、\(\varepsilon = 2^{-1} \Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) \Vert ^{-1}\)を取り、以下を満たすように\(\delta\)を取る、つまり、\(\{\forall v_1| \Vert v_1 \Vert \lt \delta\}\)に対して、\(\frac{\Vert r (v_{11}, v_1) \Vert}{\Vert v_1 \Vert} \lt \varepsilon\)、そして、\(v_{22}\)を\(2 \Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) (v_{22}) \Vert \lt \delta\)として取る; 第2に、\(v_{22}\)を小さくして、\(\{\forall v_1| \Vert v_1 - ( (Df (v_{11}))^{-1}) (v_{22}) \Vert \le sup_{\Vert v_1 \Vert \le 2 \Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) (v_{22}) \Vert} \Vert ( (Df (v_{11}))^{-1}) (r (v_{11}, v_1)) \Vert\}\)に対して、\(\Vert (Df (v_{11}))^{-1} \Vert \Vert Dr (v_{11}, v_1) \Vert \lt 1\)であるようにする。
