ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のリミット（極値）条件は等号付き条件たちで置き換えることができることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のリミット（極値）\(\delta - \epsilon\)条件は等号付き条件たちで置き換えることができるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペースたち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペースたち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(lim_{v \to v_0} f (v) = l\)
\(\iff\)
\(\forall \epsilon \in \mathbb{R} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \epsilon (\exists \delta \in \mathbb{R} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \delta (\forall v \in V_1 \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } \Vert v - v_0 \Vert \lt \delta (\Vert f (v) - l \Vert \lt \epsilon)))\) (通常の条件)
\(\iff\)
\(\forall \epsilon \in \mathbb{R} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \epsilon (\exists \delta \in \mathbb{R} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \delta (\forall v \in V_1 \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } \Vert v - v_0 \Vert \le \delta (\Vert f (v) - l \Vert \lt \epsilon)))\) (第2条件)
\(\iff\)
\(\forall \epsilon \in \mathbb{R} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \epsilon (\exists \delta \in \mathbb{R} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \delta (\forall v \in V_1 \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } \Vert v - v_0 \Vert \lt \delta (\Vert f (v) - l \Vert \le \epsilon)))\) (第3条件)
\(\iff\)
\(\forall \epsilon \in \mathbb{R} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \epsilon (\exists \delta \in \mathbb{R} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \delta (\forall v \in V_1 \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } \Vert v - v_0 \Vert \le \delta (\Vert f (v) - l \Vert \le \epsilon)))\) (第4条件)
//
2: 自然言語記述
任意のノルム付きベクトルたちスペースたち\(V_1, V_2\)、任意のマップ（写像）\(f: V_1 \to V_2\)、任意のリミット\(lim_{v \to v_0} f (v) = l\)、通常の\(\delta - \epsilon\)条件'各\(0 \lt \epsilon\)に対して、以下を満たすある\(0 \lt \delta\)がある、つまり、以下を満たす各\(v\)、つまり、\(\Vert v - v_0 \Vert \lt \delta\)に対して、\(\Vert f (v) - l \Vert \lt \epsilon\)'に対して、"\(\Vert v - v_0 \Vert \lt \delta\)"部分は\(\Vert v - v_0 \Vert \le \delta\)で置き換えることができる（第2条件とここでは呼ばれる）; または、"\(\Vert f (v) - l \Vert \lt \epsilon\)"部分は\(\Vert f (v) - l \Vert \le \epsilon\)で置き換えることができる（第3条件とここでは呼ばれる）; または、両部分を置き換えることができる（第4条件とここでは呼ばれる）。
3: 証明
通常の条件を仮定し、第2条件が満たされることを見よう。
\(0 \lt \epsilon\)は任意としよう。
以下を満たすある\(0 \lt \delta'\)がある、つまり、以下を満たす各\(v\)、つまり、\(\Vert v - v_0 \Vert \lt \delta'\)、に対して、\(\Vert f (v) - l \Vert \lt \epsilon\)。
任意の\(0 \lt \delta \lt \delta'\)を選ぼう。
すると、以下を満たす各\(v\)、つまり、\(\Vert v - v_0 \Vert \le \delta\)、に対して、\(\Vert v - v_0 \Vert \le \delta \lt \delta'\)、したがって、\(\Vert f (v) - l \Vert \lt \epsilon\)。
したがって、第2条件が満たされる。
第2条件を仮定し、通常の条件が満たされることを見よう。
\(0 \lt \epsilon\)は任意としよう。
以下を満たすある\(0 \lt \delta\)がある、つまり、以下を満たす各\(v\)、つまり、\(\Vert v - v_0 \Vert \le \delta\)、に対して、\(\Vert f (v) - l \Vert \lt \epsilon\)。
すると、以下を満たす各\(v\)、つまり、\(\Vert v - v_0 \Vert \lt \delta\)、に対して、\(\Vert v - v_0 \Vert \lt \delta \le \delta\)、したがって、\(\Vert f (v) - l \Vert \lt \epsilon\)。
したがって、通常の条件が満たされる。
通常の条件を仮定し、第3条件が満たされることを見よう。
\(0 \lt \epsilon\)は任意としよう。
以下を満たすある\(0 \lt \delta\)がある、つまり、以下を満たす各\(v\)、つまり、\(\Vert v - v_0 \Vert \lt \delta\)、に対して、\(\Vert f (v) - l \Vert \lt \epsilon\)。
すると、\(\Vert f (v) - l \Vert \lt \epsilon \le \epsilon\)。
したがって、第3条件が満たされる。
第3条件を仮定し、通常の条件が満たされることを見よう。
\(0 \lt \epsilon\)は任意としよう。
任意の\(0 \lt \epsilon' \lt \epsilon\)を選ぼう。
以下を満たすある\(0 \lt \delta\)がある、つまり、以下を満たす各\(v\)、つまり、\(\Vert v - v_0 \Vert \lt \delta\)、に対して、\(\Vert f (v) - l \Vert \le \epsilon'\)。
すると、\(\Vert f (v) - l \Vert \le \epsilon' \lt \epsilon\)。
したがって、通常の条件が満たされる。
第2条件を仮定し、第4条件が満たされることを見よう。
\(0 \lt \epsilon\)は任意としよう。
以下を満たすある\(0 \lt \delta\)がある、つまり、以下を満たす各\(v\)、つまり、\(\Vert v - v_0 \Vert \le \delta\)、に対して、\(\Vert f (v) - l \Vert \lt \epsilon\)。
すると、\(\Vert f (v) - l \Vert \lt \epsilon \le \epsilon\)。
したがって、、第4条件が満たされる。
第4条件を仮定し、第2条件が満たされることを見よう。
\(0 \lt \epsilon\)は任意としよう。
任意の\(0 \lt \epsilon' \lt \epsilon\)を選ぼう。
以下を満たすある\(0 \lt \delta\)がある、つまり、以下を満たす各\(v\)、つまり、\(\Vert v - v_0 \Vert \le \delta\)、に対して、\(\Vert f (v) - l \Vert \le \epsilon'\)。
すると、\(\Vert f (v) - l \Vert \le \epsilon' \lt \epsilon\)。
したがって、第2条件が満たされる。
