リミット（極値）条件は等号付き条件で置き換えることが可能であることの記述/証明
話題
About: リミット（極値）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リミット（極値）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リミット（極値）\(\delta - \varepsilon\)条件は等号付き条件で置き換えることが可能であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）リミット（極値）\(lim_{v \Rightarrow v_0} f (v) = l\)に対して、通常の\(\delta - \varepsilon\)条件、任意の\(0 \lt \varepsilon\)に対して、以下を満たすある\(0 \lt \delta\)がある、つまり、任意の\(\{\forall v| \Vert v - v_0\Vert \lt \delta\}\)に対して、\(\Vert f (v) - l\Vert \lt \varepsilon\)は、以下の条件（ここでは第2条件と呼ばれる）で置き換えることができる、つまり、任意の\(0 \lt \varepsilon\)に対して、以下を満たすある\(0 \lt \delta\)がある、つまり、任意の\(\{\forall v| \Vert v - v_0\Vert \le \delta\}\)に対して、\(\Vert f (v) - l\Vert \lt \varepsilon\)。加えて、その最後の部分は、\(\Vert f (v) - l\Vert \le \varepsilon\)で置き換えることができる（ここでは第3条件と呼ばれる）。
2: 証明
通常の条件を仮定すると、次を満たすある\(0 \lt \delta '\)がある、つまり、\(\{\forall v| \Vert v - v_0\Vert \lt \delta '\}\)に対して、\(\Vert f (v) - l\Vert \lt \varepsilon\)、しかし、\(\Vert v - v_0\Vert = \delta '\)であるあるvに対して、\(\Vert f (v) - l\Vert \ge \varepsilon\)かもしれない。そうしたら、ある\(0 \lt \delta = \delta ' - \lambda \lt \delta '\)があって（ここで\(0 \lt \lambda\)）、\(\{\forall v| \Vert v - v_0\Vert \le \delta\}\)に対して、\(\Vert v - v_0\Vert \lt \delta '\)であり、したがって、\(\Vert f (v) - l\Vert \lt \varepsilon\)。他方で、第2条件を仮定すると、以下を満たすある\(0 \lt \delta '\)がある、つまり\(\{\forall v| \Vert v - v_0\Vert \le \delta '\}\)に対して、\(\Vert f (v) - l\Vert \lt \varepsilon\)、そして、以下を満たす\(\delta = \delta '\)がある、つまり、\(\{\forall v| \Vert v - v_0\Vert \lt \delta\}\)に対して、\(\Vert v - v_0\Vert \le \delta '\)、したがって、\(\Vert f (v) - l\Vert \lt \varepsilon\)。第3条件に関しては、第2条件を仮定すると、第2条件に対する\(\delta\)は、\(\Vert f (v) - l\Vert \le \varepsilon\)を満たす; 第3条件を仮定すると、以下を満たす任意の\(\delta\)、つまり、\(\Vert f (v) - l\Vert \le \varepsilon - \lambda\)は、\(\Vert f (v) - l\Vert \lt \varepsilon\)を満たす。
