269: リーグループ（群）近傍で、その任意のポイントが中心と、左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）インテグラルカーブ（積分曲線）で接続できるものの存在

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リーグループ（群）近傍で、その任意のポイントが中心と、左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）インテグラルカーブ（積分曲線）で接続できるものの存在の記述/証明

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話題

About: リーグループ（群）
About: ベクトルフィールド（場）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、リーグループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
• 読者は、左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）の定義を知っている。
• 読者は、ベクトルフィールド（場）のインテグラルカーブ（積分曲線）の定義を知っている。
• 読者は、リーグループ（群）上のエクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のリーグループ（群）上に、リーアルジェブラ（多元環）上の0近傍とリーグループ（群）上のe近傍の間にディフェオモーフィック（微分同相）エクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）があるという命題を認めている。
• 読者は、任意のリーグループ（群）上の、任意の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）の、任意のポイントから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）は、そのベクトルフィールド（場）の、eから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）に、そのポイントを左から掛けたものであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリーグループ（群）上の任意のポイントに、以下を満たす近傍がある、つまり、その任意のポイントは中心と、ある左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）インテグラルカーブ（積分曲線）で接続できる、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のリーグループ（群）Gおよび任意のポイント$p_0\in G$に対して、以下を満たす近傍$U_{p_0}$がある、つまり、任意のポイント$p_i\in U_{p_0}$は$p_0$と、ある左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）$V_i$の、$p_0$から開始するインテグラルカーブ（積分曲線）${\gamma }_i:\mathbb{R}\to G$で接続できる。

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2: 証明

当該リーアルジェブラ（多元環）$\mathfrak{g}$上のある近傍$U_0$およびG上のある近傍$U_e$で以下を満たすものがある、つまり、エクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）$exp:U_0\to U_e$はディフェオモーフィズム（微分同相写像）である。$U_{p_0}:=\{\mathrm{\forall }p|p_0^{-1}p\in U_e\}$は、オープンセット（開集合）である、なぜなら、それは、$U_e$の、$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）$f:G\to G,p\mapsto p_0^{-1}p$によるプリイメージ（前像）であるから。任意の$p_i\in U_{p_0}$に対して、$p_0$において、以下を満たすベクトル$l_{p_0\ast ,e}{V}_{i,e}$がある、つまり、当該左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）$V_i$の、$p_0$から開始するインテグラルカーブ（積分曲線）は$p_i$を通過する、なぜなら、$V_{i,e}$を$p_0^{-1}{p}_i=exp{V}_{i,e}$として選ぶことによって、$p_i=p_{0}exp{V}_{i,e}={\varphi }_1(p_0)$、任意のリーグループ（群）上の、任意の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）の、任意のポイントから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）は、そのベクトルフィールド（場）の、eから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）に、そのポイントを左から掛けたものであるという命題によって。

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3: 注

$p_0$におけるベクトルたちから$U_{p_0}$への1対1性は、ここでは証明されていない。

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参考資料

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