リーグループ（群）近傍で、その任意のポイントが中心と、左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）インテグラルカーブ（積分曲線）で接続できるものの存在の記述/証明
話題
About: リーグループ（群）
About: ベクトルフィールド（場）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リーグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルフィールド（場）のインテグラルカーブ（積分曲線）の定義を知っている。
- 読者は、リーグループ（群）上のエクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリーグループ（群）上に、リーアルジェブラ（多元環）上の0近傍とリーグループ（群）上のe近傍の間にディフェオモーフィック（微分同相）エクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）があるという命題を認めている。
- 読者は、任意のリーグループ（群）上の、任意の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）の、任意のポイントから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）は、そのベクトルフィールド（場）の、eから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）に、そのポイントを左から掛けたものであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリーグループ（群）上の任意のポイントに、以下を満たす近傍がある、つまり、その任意のポイントは中心と、ある左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）インテグラルカーブ（積分曲線）で接続できる、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のリーグループ（群）Gおよび任意のポイント\(p_0 \in G\)に対して、以下を満たす近傍\(U_{p_0}\)がある、つまり、任意のポイント\(p_i \in U_{p_0}\)は\(p_0\)と、ある左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）\(V_i\)の、\(p_0\)から開始するインテグラルカーブ（積分曲線）\(\gamma _i: \mathbb{R} \rightarrow G\)で接続できる。
2: 証明
当該リーアルジェブラ（多元環）\(\mathfrak{g}\)上のある近傍\(U_0\)およびG上のある近傍\(U_e\)で以下を満たすものがある、つまり、エクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）\(exp: U_0 \rightarrow U_e\)はディフェオモーフィズム（微分同相写像）である。\(U_{p_0} := \{\forall p| p_0^{-1} p \in U_e\}\)は、オープンセット（開集合）である、なぜなら、それは、\(U_e\)の、\(C^\infty\)マップ（写像）\(f: G \rightarrow G, p \mapsto p_0^{-1} p\)によるプリイメージ（前像）であるから。任意の\(p_i \in U_{p_0}\)に対して、\(p_0\)において、以下を満たすベクトル\(l_{p_0*, e} V_{i, e}\)がある、つまり、当該左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）\(V_i\)の、\(p_0\)から開始するインテグラルカーブ（積分曲線）は\(p_i\)を通過する、なぜなら、\(V_{i, e}\)を\(p_0^{-1}p_i = exp V_{i, e}\)として選ぶことによって、\(p_i = p_0 exp V_{i, e} = \phi_1 (p_0)\)、任意のリーグループ（群）上の、任意の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）の、任意のポイントから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）は、そのベクトルフィールド（場）の、eから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）に、そのポイントを左から掛けたものであるという命題によって。
3: 注
\(p_0\)におけるベクトルたちから\(U_{p_0}\)への1対1性は、ここでは証明されていない。
