270: コネクト（連結）されたリーグループ（群）上の2ポイントは、有限数左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）インテグラルカーブ（積分曲線）セグメントによって接続できる

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コネクト（連結）されたリーグループ（群）上の2ポイントは、有限数左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）インテグラルカーブ（積分曲線）セグメントによって接続できることの記述/証明

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話題

About: リーグループ（群）
About: ベクトルフィールド（場）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リーグループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、コネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、パスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。.
• 読者は、リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
• 読者は、ディフェオモーフィズム（微分同相写像）の定義を知っている。
• 読者は、左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）の定義を知っている。
• 読者は、ベクトルフィールド（場）のインテグラルカーブ（積分曲線）の定義を知っている。
• 読者は、リーグループ（群）上のエクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のコネクト（連結）されたトポロジカルマニフォールド（多様体）はパスコネクト（連結）されているという命題を認めている。
• 読者は、任意のリーグループ（群）上に、リーアルジェブラ（多元環）上の0の近傍とリーグループ（群）上のeの近傍との間にディフェオモーフィック（微分同相）エクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）があるという命題を認めている。
• 読者は、任意のリーグループ（群）上の、任意の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）の、任意のポイントから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）は、そのベクトルフィールド（場）の、eから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）に、そのポイントを左から掛けたものであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコネクト（連結）されたリーグループ（群）上の任意の2ポイントは、有限数の、以下を満たすセグメントによって接続できる、つまり、それぞれはある左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）インテグラルカーブ（積分曲線）のセグメントである、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のコネクト（連結）されたリーグループ（群）Gに対して、任意の2ポイント$p_1,p_2\in G$は、有限数の、以下を満たすセグメントで接続できる、つまり、それぞれは、ある左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）$V_i$のインテグラルカーブ（積分曲線）${\gamma }_i:\mathbb{R}\to G$のセグメントである。

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2: 証明

Gは、$C^{\mathrm{\infty }}$ マニフォールド（多様体）でありコネクト（連結）されているので、パスコネクト（連結）されている、そこで、$e$を$p_1$へそれらを端点として接続するパス${\gamma }_1:[r_1,r_2]\to G$を取る、ここで、eはGのユニット（単位）ポイントである。以下を満たす、当該リーアルジェブラ（多元環）$\mathfrak{g}$上の近傍$U_0$およびG上の近傍$U_e$がある、つまり、当該エクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）$exp:U_0\to U_e$はディフェオモーフィズム（微分同相写像）である。任意のポイント$p_i\in G$において、$U_{p_i}:=\{\mathrm{\forall }p|p_i^{-1}p\in U_e\}$はオープンセット（開集合）である、なぜなら、それは$U_e$の、$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）$f:G\to G,p\mapsto p_i^{-1}p$によるプリイメージ（前像）であるから。任意の$p\in U_{p_i}$に対して、$p_i$において、以下を満たすベクトル$l_{p_i\ast ,e}{V}_e$がある、つまり、当該左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）Vの、$p_i$から開始してpを通過するインテグラルカーブ（積分曲線）がある、なぜなら、$V_e$を$p_i^{-1}p=exp{V}_e$として選ぶことによって、$p=p_{i}exp{V}_e={\varphi }_1(p_i)$、任意のリーグループ（群）上の、任意の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）の、任意のポイントから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）は、そのベクトルフィールド（場）の、eから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）に、そのポイントを左から掛けたものであるという命題によって。さて、${\gamma }_1$はそうしたオープンセット（開集合）でカバーでき、そのパスはコンパクトであるから、有限数サブカバー$U_{p_{1-0}}=U_e,U_{p_{1-1}},...,U_{p_{1-k}},U_{p_{1-k+1}}=U_{p_1}$がある。$U_{p_{1-0}}$は、残りのオープンセット（開集合）たちの1つとあるポイントを共有している、なぜなら、そうでなければ、${\gamma }_1$サブスペーストポロジーにおいて、$U_{a-0}:=U_{p_{1-0}}\cap {\gamma }_1$および$U_{r-0}:=({\cup }_{1-i\ne 1-0}{U}_{p_{1-i}})\cap {\gamma }_1$はオープンであり、それらはディスジョイント（共通ポイントを持たない）であり$U_{a-0}\cup U_{r-0}={\gamma }_1$であるということになり、それは、${\gamma }_1$はコネクト（連結）されていないということを意味し、矛盾である（$\gamma$は、コネクト（連結）されている$[r_1,r_2]$のコンティヌアス（連続）イメージとしてコネクト（連結）されている）。複数かもしれない共有オープンセット（開集合）の1つを$U_{p_{1-c1}}$と共通ポイントを$p_{1-s1}$と表わすと、$p_{1-s1}$は、$U_{p_{1-0}}$内にあり、したがって、eへ、ある左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）のインテグラルカーブ（積分曲線）によって接続でき、また、$U_{p_{1-c1}}$内にもあるので、$p_{1-c1}$へ、ある左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）のインテグラルカーブ（積分曲線）によって接続できる; もしも、$p_{1-c1}=p_1$であれば、eは既に$p_1$へ接続されており、もしもそうでなければ、$U_{p_{1-0}}\cup U_{p_{1-c1}}$は、残りのオープンセット（開集合）たちの1つとあるポイントを共有しており、それら複数かもしれない共有オープンセット（開集合）の1つを$U_{p_{1-c2}}$と共通ポイントを$p_{1-s2}$と表わすと、$p_{1-s2}$は、$U_{p_{1-0}}$または$U_{p_{1-c1}}$内にあるのでeまたは$p_{1-c1}$と接続でき、また、$U_{p_{1-c2}}$内にもあるので、$p_{1-c2}$へ接続できる; もしも、$p_{1-c2}=p_1$であれば、eは既に$p_1$へ、直接にか$p_{1-c1}$を介して接続されており、もしもそうでなければ、$U_{p_{1-0}}\cup U_{p_{1-c1}}\cup U_{p_{1-c2}}$は、残りのオープンセット（開集合）たちの1つとあるポイントを共有している . . .、と続く; 結局、eは$p_1$へ、有限数のセグメントによって接続される、なぜなら、$U_{p_{1-ci}}$は、有限回の繰り返しのどこかで$U_{p_1}$になるから。同様に、eは$p_2$へ、それぞれが、ある左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）のインテグラルカーブ（積分曲線）である有限数のセグメントによって接続される。$p_1$は$p_2$へeを介して接続できる。

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参考資料

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