コネクト（連結）されたリーグループ（群）上の2ポイントは、有限数左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）インテグラルカーブ（積分曲線）セグメントによって接続できることの記述/証明
話題
About: リーグループ（群）
About: ベクトルフィールド（場）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リーグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、コネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、パスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。.
- 読者は、リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、ディフェオモーフィズム（微分同相写像）の定義を知っている。
- 読者は、左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルフィールド（場）のインテグラルカーブ（積分曲線）の定義を知っている。
- 読者は、リーグループ（群）上のエクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のコネクト（連結）されたトポロジカルマニフォールド（多様体）はパスコネクト（連結）されているという命題を認めている。
- 読者は、任意のリーグループ（群）上に、リーアルジェブラ（多元環）上の0の近傍とリーグループ（群）上のeの近傍との間にディフェオモーフィック（微分同相）エクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）があるという命題を認めている。
- 読者は、任意のリーグループ（群）上の、任意の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）の、任意のポイントから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）は、そのベクトルフィールド（場）の、eから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）に、そのポイントを左から掛けたものであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコネクト（連結）されたリーグループ（群）上の任意の2ポイントは、有限数の、以下を満たすセグメントによって接続できる、つまり、それぞれはある左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）インテグラルカーブ（積分曲線）のセグメントである、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコネクト（連結）されたリーグループ（群）Gに対して、任意の2ポイント\(p_1, p_2 \in G\)は、有限数の、以下を満たすセグメントで接続できる、つまり、それぞれは、ある左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）\(V_i\)のインテグラルカーブ（積分曲線）\(\gamma _i: \mathbb{R} \rightarrow G\)のセグメントである。
2: 証明
Gは、\(C^\infty\) マニフォールド（多様体）でありコネクト（連結）されているので、パスコネクト（連結）されている、そこで、\(e\)を\(p_1\)へそれらを端点として接続するパス\(\gamma_1: [r_1, r_2] \rightarrow G\)を取る、ここで、eはGのユニット（単位）ポイントである。以下を満たす、当該リーアルジェブラ（多元環）\(\mathfrak{g}\)上の近傍\(U_0\)およびG上の近傍\(U_e\)がある、つまり、当該エクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）\(exp: U_0 \rightarrow U_e\)はディフェオモーフィズム（微分同相写像）である。任意のポイント\(p_i \in G\)において、\(U_{p_i} := \{\forall p| p_i^{-1} p \in U_e\}\)はオープンセット（開集合）である、なぜなら、それは\(U_e\)の、\(C^\infty\)マップ（写像）\(f: G \rightarrow G, p \mapsto p_i^{-1} p\)によるプリイメージ（前像）であるから。任意の\(p \in U_{p_i}\)に対して、\(p_i\)において、以下を満たすベクトル\(l_{p_i*, e} V_e\)がある、つまり、当該左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）Vの、\(p_i\)から開始してpを通過するインテグラルカーブ（積分曲線）がある、なぜなら、\(V_e\)を\(p_i^{-1}p = exp V_e\)として選ぶことによって、\(p = p_i exp V_e = \phi_1 (p_i)\)、任意のリーグループ（群）上の、任意の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）の、任意のポイントから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）は、そのベクトルフィールド（場）の、eから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）に、そのポイントを左から掛けたものであるという命題によって。さて、\(\gamma_1\)はそうしたオープンセット（開集合）でカバーでき、そのパスはコンパクトであるから、有限数サブカバー\(U_{p_{1-0}} = U_e, U_{p_{1-1}}, . . ., U_{p_{1-k}}, U_{p_{1-k + 1}} = U_{p_1}\)がある。\(U_{p_{1-0}}\)は、残りのオープンセット（開集合）たちの1つとあるポイントを共有している、なぜなら、そうでなければ、\(\gamma _1\)サブスペーストポロジーにおいて、\(U_{a-0} := U_{p_{1-0}} \cap \gamma _1\)および\(U_{r-0} := (\cup _{1-i \neq 1-0} U_{p_{1-i}}) \cap \gamma _1\)はオープンであり、それらはディスジョイント（共通ポイントを持たない）であり\(U_{a-0} \cup U_{r-0} = \gamma _1\)であるということになり、それは、\(\gamma _1\)はコネクト（連結）されていないということを意味し、矛盾である（\(\gamma\)は、コネクト（連結）されている\([r_1, r_2]\)のコンティヌアス（連続）イメージとしてコネクト（連結）されている）。複数かもしれない共有オープンセット（開集合）の1つを\(U_{p_{1-c1}}\)と共通ポイントを\(p_{1-s1}\)と表わすと、\(p_{1-s1}\)は、\(U_{p_{1-0}}\)内にあり、したがって、eへ、ある左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）のインテグラルカーブ（積分曲線）によって接続でき、また、\(U_{p_{1-c1}}\)内にもあるので、\(p_{1-c1}\)へ、ある左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）のインテグラルカーブ（積分曲線）によって接続できる; もしも、\(p_{1-c1} = p_1\)であれば、eは既に\(p_1\)へ接続されており、もしもそうでなければ、\(U_{p_{1-0}} \cup U_{p_{1-c1}}\)は、残りのオープンセット（開集合）たちの1つとあるポイントを共有しており、それら複数かもしれない共有オープンセット（開集合）の1つを\(U_{p_{1-c2}}\)と共通ポイントを\(p_{1-s2}\)と表わすと、\(p_{1-s2}\)は、\(U_{p_{1-0}}\)または\(U_{p_{1-c1}}\)内にあるのでeまたは\(p_{1-c1}\)と接続でき、また、\(U_{p_{1-c2}}\)内にもあるので、\(p_{1-c2}\)へ接続できる; もしも、\(p_{1-c2} = p_1\)であれば、eは既に\(p_1\)へ、直接にか\(p_{1-c1}\)を介して接続されており、もしもそうでなければ、\(U_{p_{1-0}} \cup U_{p_{1-c1}} \cup U_{p_{1-c2}}\)は、残りのオープンセット（開集合）たちの1つとあるポイントを共有している . . .、と続く; 結局、eは\(p_1\)へ、有限数のセグメントによって接続される、なぜなら、\(U_{p_{1-ci}}\)は、有限回の繰り返しのどこかで\(U_{p_1}\)になるから。同様に、eは\(p_2\)へ、それぞれが、ある左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）のインテグラルカーブ（積分曲線）である有限数のセグメントによって接続される。\(p_1\)は\(p_2\)へeを介して接続できる。
