互いにホメオモーフィック（位相同形）なトポロジカルスペース（空間）たちは等価なアトラス（座標近傍系）たちを持てることの記述/証明
話題
About: トポロジカルマニフォールド（多様体）
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルマニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、アトラス（座標近傍系）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の互いにホメオモーフィック（位相同形）なトポロジカルマニフォールド（多様体）たちは等価なアトラス（座標近傍系）たちを持てるか、なにもアトラス（座標近傍系）を持てないかであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
以下を満たす任意のトポロジカルマニフォールド（多様体）\(M_1\)および\(M_2\)、つまり、\(f: M_1 \rightarrow M_2\)によって互いにホメオモーフィック（位相同形）である、に対して、もしも、\(M_1\)があるアトラス（座標近傍系）を持てれば、\(M_2\)はそれに等価なアトラス（座標近傍系）を持てる。もしも、\(M_1\)が何らのアトラス（座標近傍系）も持てなければ、\(M_2\)は何らのアトラス（座標近傍系）も持てない。
そこの"等価"は、\(M_1\)上の任意のチャート\((U, \phi)\)に対して、\(M_2\)上の対応するチャートは\((f (U), \phi (f^{-1}))\)であることを意味する。
2: 証明
\((f (U), \phi (f^{-1}))\)はチャートである、なぜなら、\(\phi (f^{-1})\)は、f (U)（\(M_2\)上でオープン（開）である（なぜなら、fはホメオモーフィズム（位相同形写像）だから））から\(\phi (U)\)（\(\mathbb{R}^n\)上でオープン（開）である（なぜなら、\(\phi\)はチャートマップ（写像）だから））へのホメオモーフィズム（位相同形写像）である、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の合成として。\(M_2\)上のそれらのチャートの集合は、\(C^\infty\)アトラス（座標近傍系）を構成する、なぜなら、それは\(M_2\)をカバーする（\(M_2\)上の任意のポイントf (p)であり、したがって、それはf (U)内にある、ここで、\(p \in U\))。\(f (U_1)\)と\(f (U_2)\)に共有される任意のエリアに対して、チャート間トランジション（遷移）マップ（写像）\(\phi_1 (f^{-1} (f (U_1))) \rightarrow \phi_2 (f^{-1} (f (U_2)))\)は、\(\phi_1 (U_1) \rightarrow \phi_2 (U_2)\)であり、それは、\(M_1\)上のチャート間トランジション（遷移）マップ（写像）に他ならず、\(C^\infty\)である。
もしも、\(M_1\)が何らのアトラス（座標近傍系）も持てなければ、\(M_2\)は何らのアトラス（座標近傍系）も持てない、なぜなら、もしも、\(M_2\)があるアトラス（座標近傍系）を持っていたとしたら、\(M_1\)上に、対応する等価アトラス（座標近傍系）があったであろうから、矛盾。
3: 注
一部の人々は、本命題など自明だと見なすだろう: "それら2つのトポロジカルマニフォールド（多様体）は同じものだ、それらは互いにホメオモーフィック（位相同形）なんだから！"。
えーと、トポロジカルスペース（空間）やマニフォールドについての広く流布している一部の論議に関して私が抱く不平の種の1つは、彼らが、"2つのエンディングは同じものだ"と涼やかに言うこと、それらが等価であるというだけの理由で。'等価である'ということが意味するのは、'あるプロパティの組を共有している'ということであって、'同じものである'ということではない。
もしも地球の表面と火星の表面がホメオモーフィック（位相同形）であるとしても、それらは同じものではない: あなたが立っているポイントは火星表面上の何らのポイントでもない、たとえ、そのポイントが火星表面上のあるポイントにホメオモーフィック（位相同形）に対応するとしても。
本命題を私はあえて記述し証明する労をとったのは、そのような涼やかさを私は不快に感じるからだ、もっとも、一部の頭の回転の早い人々は、本命題をどのみち自明だと見なすかもしれないが。
涼やかな人々は、"それらトポロジカルマニフォールド（多様体）は、同一のアトラス（座標近傍系）を共有している。"と言うだろうが、私は、それらの2つのアトラス（座標近傍系）は単に等価なだけであって、同じではないと言う。
地球表面に対するアトラス（座標近傍系）は、火星表面に対するアトラス（座標近傍系）ではない、もしも、火星表面アトラス（座標近傍系）が、対応する地球表面アトラス（座標近傍系）から当該ホメオモーフィズム（位相同形写像）を介して導けるとしても。
