282: レンジ（値域）全体のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体である

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レンジ（値域）全体のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）
About: マップ（写像）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のマップ（写像）のレンジ（値域）全体のプリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）$S_1$および$S_2$および任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$に対して、レンジ（値域）全体のプリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体である、つまり、$f^{-1}(S_2)=S_1$。

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2: 証明

$p\in f^{-1}(S_2)$と仮定する。$p\in S_1$。$p\in S_1$と仮定する。$f(p)\in S_2$、したがって$p\in f^{-1}(S_2)$。

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3: 注

重要な点は、そのマップ（写像）はサージェクティブ（全射）である必要はないということである。

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参考資料

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