2022年5月1日日曜日

286: コンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）クオシィエント（商）からのインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である

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コンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）クオシィエント（商）からのインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティヌアス（連続）であることの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース（空間）
About: マップ（写像）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）に対して、その、任意のドメイン（定義域）クオシィエント（商）からのインデュースト（誘導された）マップ（写像）（もしも、存在すれば）はコンティヌアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のトポロジカルスペース（空間）M1およびM2、任意のコンティヌアスマップ（写像）f:M1→M2、M1の任意のクオシェント（商）M1/∼、対応するクオシェント（商）マップ（写像）ρ:M1→M1/∼に対して、もしも、fが、M1/∼の各要素に対応する全てのM1要素に対して同値であれば、対応するインデュースト（誘導された）マップ（写像）f~があって、f:M1→ρM1/∼→f~M2であり、f~はコンティヌアス（連続）。

2: 証明


任意のオープンセット（開集合）U⊆M2に対して、f−1(U)はオープン。f−1(U)=ρ−1∘f~−1(U)、なぜなら、任意のp∈f−1(U)に対して、f~∘ρ(p)∈U、ρ(p)∈f~−1(U)、p∈ρ−1∘f~−1(U)。他方で、任意のp∈ρ−1∘f~−1(U)に対して、ρ(p)∈f~−1(U)、f~∘ρ(p)∈U、ここで、f~∘ρ(p)=f(p)、したがって、p∈f−1(U)。クオシェント（商）トポロジーの定義によって、もしも、ρ−1∘f~−1(U)がオープンであれば（実のところそうである）f~−1(U)はオープン、したがって、任意のオープンセット（開集合）U⊆M2に対してf~−1(U)がオープンなので、f~−1はコンティヌアス（連続）。

参考資料
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