コンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）クオシィエント（商）からのインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティヌアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）のクオシィエント（商）a definition of quotient of setを知っている。
- 読者は、クオシェント（商）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、クオシェント（商）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）に対して、その、任意のドメイン（定義域）クオシィエント（商）からのインデュースト（誘導された）マップ（写像）（もしも、存在すれば）はコンティヌアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(M_1\)および\(M_2\)、任意のコンティヌアスマップ（写像）\(f: M_1 \rightarrow M_2\)、\(M_1\)の任意のクオシェント（商）\(M_1/\sim\)、対応するクオシェント（商）マップ（写像）\(\rho: M_1 \rightarrow M_1/\sim\)に対して、もしも、fが、\(M_1/\sim\)の各要素に対応する全ての\(M_1\)要素に対して同値であれば、対応するインデュースト（誘導された）マップ（写像）\(\tilde{f}\)があって、\(f: M_1 \xrightarrow [\rho]{} M_1/\sim \xrightarrow[\tilde{f}]{} M_2\)であり、\(\tilde{f}\)はコンティヌアス（連続）。
2: 証明
任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq M_2\)に対して、\(f^{-1} (U)\)はオープン。\(f^{-1} (U) = \rho^{-1} \circ \tilde{f}^{-1} (U)\)、なぜなら、任意の\(p \in f^{-1} (U)\)に対して、\(\tilde{f} \circ \rho (p) \in U\)、\(\rho (p) \in \tilde{f}^{-1} (U)\)、\(p \in \rho^{-1} \circ \tilde{f}^{-1} (U)\)。他方で、任意の\(p \in \rho^{-1} \circ \tilde{f}^{-1} (U)\)に対して、\(\rho (p) \in \tilde{f}^{-1} (U)\)、\(\tilde{f} \circ \rho (p) \in U\)、ここで、\(\tilde{f} \circ \rho (p) = f (p)\)、したがって、\(p \in f^{-1} (U)\)。クオシェント（商）トポロジーの定義によって、もしも、\(\rho^{-1} \circ \tilde{f}^{-1} (U)\)がオープンであれば（実のところそうである）\(\tilde{f}^{-1} (U)\)はオープン、したがって、任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq M_2\)に対して\(\tilde{f}^{-1} (U)\)がオープンなので、\(\tilde{f}^{-1}\)はコンティヌアス（連続）。
