R^{d-k}のサブセット（部分集合）は、もしも、R^kとサブセット（部分集合）のプロダクト（積）がオープンであれば、オープンであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知ってる。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(R^{d-k}\)の任意のサブセット（部分集合）は、もしも、R^kと当該サブセット（部分集合）のプロダクト（積）がオープンであれば、オープンであるの命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^k\)および\(\mathbb{R}^{d - k}\)に対して、任意のセット（集合）\(U \subseteq \mathbb{R}^{d - k}\)は、もしも、\(\mathbb{R}^k \times U\)が\(\mathbb{R}^d\)上でオープンであれば、\(\mathbb{R}^{d - k}\)上でオープンである。
2: 証明
任意のポイント\(p \in \mathbb{R}^k \times U\)に対して、\(\mathbb{R}^k \times U\)に含まれるあるオープンボール\(B_p := \{ \forall (x^1, . . ., x^d) | \sum_{i=1, . . ., d} (x^i - p^i)^2 \lt \varepsilon^2\}\)がある。すると、\(\{ \forall (p^1, . . ., p^k, x^{k + 1}, . . ., x^d) | \sum_{i = k + 1, . . ., d} (x^i - p^i)^2 \lt \varepsilon^2\}\)は\(\mathbb{R}^k \times U\)に含まれている、なぜなら、それは\(B_p\)に含まれている。任意の\(p' \in U\), \((p^{k + 1}, . . ., p^d)\)に対して、\(p \in \mathbb{R}^k \times U\)、\((p^1, . . ., p^k, p^{k + 1}, . . ., p^{d})\)があり、そして、\(\{ \forall (p^1, . . ., p^k, x^{k + 1}, . . ., x^d) | \sum_{i = k + 1, . . ., d} (x^i - p^i)^2 \lt \varepsilon^2\}\)は、\(\mathbb{R}^k \times U\)に含まれている、そして、\({ (x^{k + 1}, . . ., x^d)}\)は、Uに含まれるオープンボールである。
