287: R^{d-k}のサブセット（部分集合）は、もしも、R^kとサブセット（部分集合）のプロダクト（積）がオープンであれば、オープンである

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R^{d-k}のサブセット（部分集合）は、もしも、R^kとサブセット（部分集合）のプロダクト（積）がオープンであれば、オープンであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知ってる。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$R^{d-k}$の任意のサブセット（部分集合）は、もしも、R^kと当該サブセット（部分集合）のプロダクト（積）がオープンであれば、オープンであるの命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

ユークリディアントポロジカルスペース（空間）${\mathbb{R}}^k$および${\mathbb{R}}^{d-k}$に対して、任意のセット（集合）$U\subseteq {\mathbb{R}}^{d-k}$は、もしも、${\mathbb{R}}^k\times U$が${\mathbb{R}}^d$上でオープンであれば、${\mathbb{R}}^{d-k}$上でオープンである。

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2: 証明

任意のポイント$p\in {\mathbb{R}}^k\times U$に対して、${\mathbb{R}}^k\times U$に含まれるあるオープンボール$B_p:=\{\mathrm{\forall }(x^1,...,x^d)|\sum _{i=1,...,d}(x^i-p^i{)}^2<{\epsilon }^2\}$がある。すると、$\{\mathrm{\forall }(p^1,...,p^k,x^{k+1},...,x^d)|\sum _{i=k+1,...,d}(x^i-p^i{)}^2<{\epsilon }^2\}$は${\mathbb{R}}^k\times U$に含まれている、なぜなら、それは$B_p$に含まれている。任意の$p^{\prime }\in U$, $(p^{k+1},...,p^d)$に対して、$p\in {\mathbb{R}}^k\times U$、$(p^1,...,p^k,p^{k+1},...,p^d)$があり、そして、$\{\mathrm{\forall }(p^1,...,p^k,x^{k+1},...,x^d)|\sum _{i=k+1,...,d}(x^i-p^i{)}^2<{\epsilon }^2\}$は、${\mathbb{R}}^k\times U$に含まれている、そして、$(x^{k+1},...,x^d)$は、Uに含まれるオープンボールである。

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参考資料

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