285: コンティヌアス（連続）ファンクション（関数）たちのマトリックス（行列）の非ゼロ デターミナント（行列式）たちのプリイメージ（前像）はオープンである

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コンティヌアス（連続）ファンクション（関数）たちのマトリックス（行列）の非ゼロデターミナント（行列式）たちのプリイメージ（前像）はオープンであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）
About: マップ（写像）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、オープンセット（開集合）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のマップ（写像）の、レンジ（値域） マイナス 任意のレンジ（値域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）は、クローズドセット（閉集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）ファンクション（関数）たちの任意のマトリックス（行列）の全ての非ゼロデターミナント（行列式）たちのプリイメージ（前像）はオープンであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のコンティヌアス（連続）ファンクション（関数）たちの任意のマトリックス（行列）$[M_{ij}]$、ここで、$M_{ij}:U\to \mathbb{R}$はコンティヌアス（連続）、ここで、Uはオープンセット（開集合）$U\subseteq {\mathbb{R}}^d$、そのマトリックス（行列）のデターミナント（行列式）マップ（写像）$f:=det[M_{ij}]:U\to \mathbb{R}$に対して、そのマップ（写像）の全ての非ゼロ値のプリイメージ（前像）$f^{-1}(\{\mathrm{\forall }p\in \mathbb{R}|p\ne 0\})$は、U上でオープンである。

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2: 証明

そのマトリックスのデターミナント（行列式）をとるのはマトリックス（行列）コンポーネント（成分）たちに関してコンティヌアス（連続）なので、fは、コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちの合成としてコンティヌアス（連続）。任意のマップ（写像）の、レンジ（値域） マイナス 任意のレンジ（値域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって、$f^{-1}(\mathbb{R}\setminus 0)=U\setminus f^{-1}(0)$、そして、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）は、クローズドセット（閉集合）であるという命題によって、$f^{-1}(0)$はクローズド、したがって、$U\setminus f^{-1}(0)$はオープン、したがって、$f^{-1}(\mathbb{R}\setminus 0)$はオープン。

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参考資料

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