コンティヌアス（連続）ファンクション（関数）たちのマトリックス（行列）の非ゼロデターミナント（行列式）たちのプリイメージ（前像）はオープンであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、オープンセット（開集合）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のマップ（写像）の、レンジ（値域） マイナス 任意のレンジ（値域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）は、クローズドセット（閉集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）ファンクション（関数）たちの任意のマトリックス（行列）の全ての非ゼロデターミナント（行列式）たちのプリイメージ（前像）はオープンであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコンティヌアス（連続）ファンクション（関数）たちの任意のマトリックス（行列）\([M_{ij}]\)、ここで、\(M_{ij}: U \rightarrow \mathbb{R}\)はコンティヌアス（連続）、ここで、Uはオープンセット（開集合）\(U \subseteq \mathbb{R}^d\)、そのマトリックス（行列）のデターミナント（行列式）マップ（写像）\(f := det [M_{ij}]: U \rightarrow \mathbb{R}\)に対して、そのマップ（写像）の全ての非ゼロ値のプリイメージ（前像）\(f^{-1} (\{\forall p \in \mathbb{R}| p \neq 0\})\)は、U上でオープンである。
2: 証明
そのマトリックスのデターミナント（行列式）をとるのはマトリックス（行列）コンポーネント（成分）たちに関してコンティヌアス（連続）なので、fは、コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちの合成としてコンティヌアス（連続）。任意のマップ（写像）の、レンジ（値域） マイナス 任意のレンジ（値域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は、ドメイン（定義域） マイナス そのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって、\(f^{-1} ({\mathbb{R} \setminus {0}}) = U \setminus f^{-1} ({0})\)、そして、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、任意のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）は、クローズドセット（閉集合）であるという命題によって、\(f^{-1} ({0})\)はクローズド、したがって、\(U \setminus f^{-1} ({0})\)はオープン、したがって、\(f^{-1} ({\mathbb{R} \setminus {0}})\)はオープン。
