2022年5月22日日曜日

292: セット(集合)たちのユニオン(和集合)のマップ(写像)イメージ(像)はセット(集合)たちのマップ(写像)イメージ(像)たちのユニオン(和集合)である

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セット(集合)たちのユニオン(和集合)のマップ(写像)イメージ(像)はセット(集合)たちのマップ(写像)イメージ(像)たちのユニオン(和集合)であることの記述/証明

話題


About: セット(集合)
About: マップ(写像)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のマップ(写像)に対して、任意の、セット(集合)たちのユニオン(和集合)、のマップ(写像)イメージ(像)はそれらセット(集合)たちのマップ(写像)イメージ(像)たちのユニオン(和集合)であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。


本体


1: 記述


任意のセット(集合)\(S_1\)および\(S_2\)、任意のマップ(写像)\(f: S_1 \rightarrow S_2\)、\(S_1\)の任意の、不可算かもしれない個数のサブセット(部分集合)たち\(S_{1_i} \subseteq S_1\)に対して、それらサブセット(部分集合)たちのユニオン(和集合)のマップ(写像)イメージ(像)\(f (\cup_i S_{1_i})\)は、それらサブセット(部分集合)たちのマップ(写像)イメージ(像)たちのユニオン(和集合)\(\cup_i f (S_{1_i})\)である、つまり、\(f (\cup_i S_{1_i}) = \cup_i f (S_{1_i})\)。


2: 証明


任意の要素\(p \in f (\cup_i S_{1_i})\)に対して、あるiに対して\(p \in f (S_{1_i})\) 、なぜなら、\(\cup_i S_{1_i}\)に、pへマップするある要素があるから、その要素は、ある\(S_{1_i}\)内にいなければならない、つまり、\(p \in \cup_i f (S_{1_i})\)。任意の要素\(p \in \cup_i f (S_{1_i})\)に対して、あるiに対して\(p \in f (S_{1_i})\)、つまり、\(p \in f (\cup_i S_{1_i})\)、なぜなら、\(S_{1_i}\)内に、pにマップするある要素があるから、その要素は\(\cup_i S_{1_i}\)内にもある。


3: 注


\(\cup_i S_{1_i}\)内に"リミット(極限)要素"(それは、どの\(S_{1_i}\)にも属さないが、ある要素シーケンスが無限にそれに近づくというもの)などというものはないということに留意することが重要である。


参考資料


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