292: セット（集合）たちのユニオン（和集合）のマップ（写像）イメージ（像）はセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）である

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セット（集合）たちのユニオン（和集合）のマップ（写像）イメージ（像）はセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）
About: マップ（写像）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）$S_1$および$S_2$、任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$、$S_1$の任意の、不可算かもしれない個数のサブセット（部分集合）たち$S_{1_i}\subseteq S_1$に対して、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のマップ（写像）イメージ（像）$f({\cup }_i{S}_{1_i})$は、それらサブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）${\cup }_{i}f(S_{1_i})$である、つまり、$f({\cup }_i{S}_{1_i})={\cup }_{i}f(S_{1_i})$。

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2: 証明

任意の要素$p\in f({\cup }_i{S}_{1_i})$に対して、あるiに対して$p\in f(S_{1_i})$ 、なぜなら、${\cup }_i{S}_{1_i}$に、pへマップするある要素があるから、その要素は、ある$S_{1_i}$内にいなければならない、つまり、$p\in {\cup }_{i}f(S_{1_i})$。任意の要素$p\in {\cup }_{i}f(S_{1_i})$に対して、あるiに対して$p\in f(S_{1_i})$、つまり、$p\in f({\cup }_i{S}_{1_i})$、なぜなら、$S_{1_i}$内に、pにマップするある要素があるから、その要素は${\cup }_i{S}_{1_i}$内にもある。

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3: 注

${\cup }_i{S}_{1_i}$内に"リミット（極限）要素"（それは、どの$S_{1_i}$にも属さないが、ある要素シーケンスが無限にそれに近づくというもの）などというものはないということに留意することが重要である。

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参考資料

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