セット（集合）たちのユニオン（和集合）のマップ（写像）イメージ（像）はセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）\(S_1\)および\(S_2\)、任意のマップ（写像）\(f: S_1 \rightarrow S_2\)、\(S_1\)の任意の、不可算かもしれない個数のサブセット（部分集合）たち\(S_{1_i} \subseteq S_1\)に対して、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のマップ（写像）イメージ（像）\(f (\cup_i S_{1_i})\)は、それらサブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）\(\cup_i f (S_{1_i})\)である、つまり、\(f (\cup_i S_{1_i}) = \cup_i f (S_{1_i})\)。
2: 証明
任意の要素\(p \in f (\cup_i S_{1_i})\)に対して、あるiに対して\(p \in f (S_{1_i})\) 、なぜなら、\(\cup_i S_{1_i}\)に、pへマップするある要素があるから、その要素は、ある\(S_{1_i}\)内にいなければならない、つまり、\(p \in \cup_i f (S_{1_i})\)。任意の要素\(p \in \cup_i f (S_{1_i})\)に対して、あるiに対して\(p \in f (S_{1_i})\)、つまり、\(p \in f (\cup_i S_{1_i})\)、なぜなら、\(S_{1_i}\)内に、pにマップするある要素があるから、その要素は\(\cup_i S_{1_i}\)内にもある。
3: 注
\(\cup_i S_{1_i}\)内に"リミット（極限）要素"（それは、どの\(S_{1_i}\)にも属さないが、ある要素シーケンスが無限にそれに近づくというもの）などというものはないということに留意することが重要である。
