コンティヌアスマップ（写像）たちのいくつかの疑似プロダクトマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの特性付けを認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）のマップ（写像）プリイメージたちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）は コンポーネントマップ（写像）によるプリイメージ（前像）たちのプロダクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、コンティヌアスマップ（写像）たちのいくつかの疑似プロダクトマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述1
任意の有限個のトポロジカルスペース（空間）\(T_0\), \(T_{i_1}\)および\(T_{i_2}\)、ここで、i = 1, 2, . . ., k、任意の対応する個数のコンティヌアス（連続）マップ（写像）\(f_i: T_0 \times T_{i_1} \rightarrow T_{i_2}\)に対して、それらマップ（写像）の疑似プロダクトマップ（写像）\(f_{k + 1}: T_0 \times T_{1_1} \times T_{2_1} \times . . . \times T_{k_1} \rightarrow T_{1_2} \times T_{2_2} \times . . . \times T_{k_2} = (f_1, f_2, . . ., f_k)\)はコンティヌアス（連続）である。
2: Proof 1 証明 1
\(f_{k + 2}: T_0 \times T_{1_1} \times T_{2_1} \times . . . \times T_{k_1} \rightarrow T_0 \times T_{1_1} \times T_0 \times T_{2_1} \times . . . \times T_0 \times T_{k_1}\)、\(f_{k + 2} (p_0, p_1, . . ., p_k) = (p_0, p_1, p_0, p_2, . . ., p_0, p_k)\)を取ると、それはコンティヌアス（連続）である、なぜなら、任意の\(U \subseteq T_0 \times T_{1_1} \times T_0 \times T_{2_1} \times . . . \times T_0 \times T_{k_1}\)に対して、\(U = \cup_i U_{01_i} \times U_{1_i} \times U_{02_i} \times U_{2_i} \times . . . \times U_{0k_i} \times U_{k_i}\)、ここで、{i}は不可算かもしれないインデックスセット（集合）であり\(U_{0j_i}\)は\(T_0\)上でオープンであり\(U_{j_i}\)は\(T_{j_1}\)上でオープンである、プロダクトトポロジーによって、プロダクトトポロジーの特性付けに基づいて。\(f_{k + 2}^{-1} (U) = \cup_{i} f_{k + 2}^{-1} (U_{01_i} \times U_{1_i} \times U_{02_i} \times U_{2_i} \times . . . \times U_{0k_i} \times U_{k_i})\)、各項のオープン性を示せば十分である、\(f_{k + 2}^{-1} (U_{01_i} \times U_{1_i} \times U_{02_i} \times U_{2_i} \times . . . \times U_{0k_i} \times U_{k_i}) = \cap_{j} U_{0j_i} \times U_{2_i} \times U_{3_i} \times . . . \times U_{k_i}\)、なぜなら、任意のポイント\(p = (p_0, p_1, . . ., p_k) \in f_{k + 2}^{-1} (U_{01_i} \times U_{1_i} \times U_{02_i} \times U_{2_i} \times . . . \times U_{0k_i} \times U_{k_i})\)に対して、\(f_{k + 2} (p) \in U_{01_i} \times U_{1_i} \times U_{02_i} \times U_{2_i} \times . . . \times U_{0k_i} \times U_{k_i}\)、しかし、\(p_0 \in \cap_{j} U_{0j_i}\), \(p_1 \in U_{1_i}\), \(p_2 \in U_{2_i}\), . . ., \(p_k \in U_{k_i}\)、したがって、\(p = (p_0, p_1, . . ., p_k) \in \cap_{j} U_{0j_i} \times U_{1_i} \times U_{2_i} \times . . . \times U_{k_i}\)、任意のポイント\(p = (p_0, p_1, . . ., p_k) \in \cap_{j} U_{0j_i} \times U_{2_i} \times U_{3_i} \times . . . \times U_{k_i}\)に対して、\(f_{k + 2} (p) = (p_0, p_1, p_0, p_2, . . ., p_0, p_k) \in U_{01_i} \times U_{1_i} \times U_{02_i} \times U_{2_i} \times . . . \times U_{0k_i} \times U_{k_i}\)、したがって、\(p \in f_{k + 2}^{-1} (U_{01_i} \times U_{1_i} \times U_{02_i} \times U_{2_i} \times . . . \times U_{0k_i} \times U_{k_i})\)、しかし、\(\cap_{j} U_{0j_i} \times U_{1_i} \times U_{2_i} \times . . . \times U_{k_i}\)は\(T_0 \times T_{1_1} \times . . . \times T_{k_1}\)上でオープンある、プロダクトトポロジーによって。さて、\(\tilde{f_{k + 1}}: T_0 \times T_{1_1} \times T_0 \times T_{2_1} \times . . . \times T_0 \times T_{k_1} \rightarrow T_{1_2} \times T_{2_2} \times . . . \times T_{k_2} = (f_1, f_2, . . ., f_k)\)、それはコンティヌアス（連続）である、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題に基づいて、に対して、\(f_{k + 1} = \tilde{f_{k + 1}} \circ f_{k + 2} \)、それはコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちの合成としてコンティヌアス（連続）である。
3: 注 1
それが"疑似プロダクトマップ（写像）"と呼ばれている理由は、それは、本当にはプロダクトマップ（写像）ではない、なぜなら、\(T_0\)はコンポーネントマップ（写像）たちに共有されている、こと。
4: 記述 2
任意の有限個のトポロジカルスペース（空間）\(T_0\)および\(T_{i_2}\)、ここで、i = 1, 2, . . ., k、任意の対応する個数のコンティヌアス（連続）マップ（写像）\(f_i: T_0 \rightarrow T_{i_2}\)に対して、それらマップ（写像）の疑似プロダクトマップ（写像）\(f_{k + 1}: T_0 \rightarrow T_{1_2} \times T_{2_2} \times . . . \times T_{k_2} = (f_1, f_2, . . ., f_k)\)はコンティヌアス（連続）である。
5: 証明 2
\(f_i: T_0 \rightarrow T_{i_2}\)はコンティヌアス（連続）だから、\(\tilde{f_i}: T_0 \times \{0\} \rightarrow T_{i_2}\)、\(\tilde{f_i} (p, 0) = (f_i (p))\)は、コンティヌアス（連続）である、なぜなら、任意のオープンセット（開集合）\(U \in T_{i_2}\)に対して、\(\tilde{f_i}^{-1} (U) = f_i^{-1} (U) \times \{0\}\)、なぜなら、任意のポイント\((p, 0) \in \tilde{f_i}^{-1} (U)\)に対して、\(\tilde{f_i} (p, 0) = f_i (p) \in U\)、したがって、\(p \in f_i^{-1} (U)\)、したがって、\((p, 0) \in f_i^{-1} (U) \times \{0\}\)、そして任意のポイント\((p, 0) \in f_i^{-1} (U) \times \{0\}\)に対して、\(\tilde{f_i} (p, 0) = f (p) \in U\)、したがって、\((p, 0) \in \tilde{f_i}^{-1} (U)\)、そして、\(f_i^{-1} (U) \times \{0\}\)はプロダクトトポロジーによってオープンである。記述 1によって、\(\tilde{f_{k + 1}}: T_0 \times \{0\} \times \{0\} . . . \times \{0\} \rightarrow T_{1_2} \times T_{2_2} \times . . . \times T_{k_2} = (\tilde{f_1}, \tilde{f_2}, . . ., \tilde{f_k})\)はコンティヌアス（連続）である。しかし、\(f_{k + 2}: T_0 \rightarrow T_0 \times \{0\} \times \{0\} . . . \times \{0\}\)、\(f_{k + 2} (p) = (p, 0, 0, . . ., 0)\)はコンティヌアス（連続）である、なぜなら、任意のオープンセット（開集合）\(U \in T_0 \times \{0\} \times \{0\} . . . \times \{0\}\)に対して、\(U = U_0 \times \{0\} \times \{0\} . . . \times \{0\}\)、ここで、\(U_0\)は\(T_0\)上でオープン、プロダクトトポロジーによって、そして、\(f_{k + 2}^{-1} (U) = U_0\)。さて、\(f_{k + 1} = \tilde{f_{k + 1}} \circ f_{k + 2}\)、コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちの合成、コンティヌアス（連続）。
