291: コンティヌアスマップ（写像）たちのいくつかの疑似プロダクトマップ（写像）はコンティヌアス（連続）である

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コンティヌアスマップ（写像）たちのいくつかの疑似プロダクトマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）
About: マップ（写像）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述1
• 2: Proof 1　証明 1
• 3: 注 1
• 4: 記述 2
• 5: 証明 2

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開始コンテキスト

• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、プロダクトトポロジーの特性付けを認めている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）のマップ（写像）プリイメージたちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のプロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）は　コンポーネントマップ（写像）によるプリイメージ（前像）たちのプロダクトであるという命題を認めている。
• 読者は、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、コンティヌアスマップ（写像）たちのいくつかの疑似プロダクトマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述1

任意の有限個のトポロジカルスペース（空間）$T_0$, $T_{i_1}$および$T_{i_2}$、ここで、i = 1, 2, . . ., k、任意の対応する個数のコンティヌアス（連続）マップ（写像）$f_i:T_0\times T_{i_1}\to T_{i_2}$に対して、それらマップ（写像）の疑似プロダクトマップ（写像）$f_{k+1}:T_0\times T_{1_1}\times T_{2_1}\times ...\times T_{k_1}\to T_{1_2}\times T_{2_2}\times ...\times T_{k_2}=(f_1,f_2,...,f_k)$はコンティヌアス（連続）である。

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2: Proof 1　証明 1

$f_{k+2}:T_0\times T_{1_1}\times T_{2_1}\times ...\times T_{k_1}\to T_0\times T_{1_1}\times T_0\times T_{2_1}\times ...\times T_0\times T_{k_1}$、$f_{k+2}(p_0,p_1,...,p_k)=(p_0,p_1,p_0,p_2,...,p_0,p_k)$を取ると、それはコンティヌアス（連続）である、なぜなら、任意の$U\subseteq T_0\times T_{1_1}\times T_0\times T_{2_1}\times ...\times T_0\times T_{k_1}$に対して、$U={\cup }_i{U}_{{01}_i}\times U_{1_i}\times U_{{02}_i}\times U_{2_i}\times ...\times U_{0k_i}\times U_{k_i}$、ここで、{i}は不可算かもしれないインデックスセット（集合）であり$U_{0j_i}$は$T_0$上でオープンであり$U_{j_i}$は$T_{j_1}$上でオープンである、プロダクトトポロジーによって、プロダクトトポロジーの特性付けに基づいて。$f_{k+2}^{-1}(U)={\cup }_i{f}_{k+2}^{-1}(U_{{01}_i}\times U_{1_i}\times U_{{02}_i}\times U_{2_i}\times ...\times U_{0k_i}\times U_{k_i})$、各項のオープン性を示せば十分である、$f_{k+2}^{-1}(U_{{01}_i}\times U_{1_i}\times U_{{02}_i}\times U_{2_i}\times ...\times U_{0k_i}\times U_{k_i})={\cap }_j{U}_{0j_i}\times U_{2_i}\times U_{3_i}\times ...\times U_{k_i}$、なぜなら、任意のポイント$p=(p_0,p_1,...,p_k)\in f_{k+2}^{-1}(U_{{01}_i}\times U_{1_i}\times U_{{02}_i}\times U_{2_i}\times ...\times U_{0k_i}\times U_{k_i})$に対して、$f_{k+2}(p)\in U_{{01}_i}\times U_{1_i}\times U_{{02}_i}\times U_{2_i}\times ...\times U_{0k_i}\times U_{k_i}$、しかし、$p_0\in {\cap }_j{U}_{0j_i}$, $p_1\in U_{1_i}$, $p_2\in U_{2_i}$, . . ., $p_k\in U_{k_i}$、したがって、$p=(p_0,p_1,...,p_k)\in {\cap }_j{U}_{0j_i}\times U_{1_i}\times U_{2_i}\times ...\times U_{k_i}$、任意のポイント$p=(p_0,p_1,...,p_k)\in {\cap }_j{U}_{0j_i}\times U_{2_i}\times U_{3_i}\times ...\times U_{k_i}$に対して、$f_{k+2}(p)=(p_0,p_1,p_0,p_2,...,p_0,p_k)\in U_{{01}_i}\times U_{1_i}\times U_{{02}_i}\times U_{2_i}\times ...\times U_{0k_i}\times U_{k_i}$、したがって、$p\in f_{k+2}^{-1}(U_{{01}_i}\times U_{1_i}\times U_{{02}_i}\times U_{2_i}\times ...\times U_{0k_i}\times U_{k_i})$、しかし、${\cap }_j{U}_{0j_i}\times U_{1_i}\times U_{2_i}\times ...\times U_{k_i}$は$T_0\times T_{1_1}\times ...\times T_{k_1}$上でオープンある、プロダクトトポロジーによって。さて、$\widetilde{f_{k+1}}:T_0\times T_{1_1}\times T_0\times T_{2_1}\times ...\times T_0\times T_{k_1}\to T_{1_2}\times T_{2_2}\times ...\times T_{k_2}=(f_1,f_2,...,f_k)$、それはコンティヌアス（連続）である、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題に基づいて、に対して、$f_{k+1}=\widetilde{f_{k+1}}\circ f_{k+2}$、それはコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちの合成としてコンティヌアス（連続）である。

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3: 注 1

それが"疑似プロダクトマップ（写像）"と呼ばれている理由は、それは、本当にはプロダクトマップ（写像）ではない、なぜなら、$T_0$はコンポーネントマップ（写像）たちに共有されている、こと。

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4: 記述 2

任意の有限個のトポロジカルスペース（空間）$T_0$および$T_{i_2}$、ここで、i = 1, 2, . . ., k、任意の対応する個数のコンティヌアス（連続）マップ（写像）$f_i:T_0\to T_{i_2}$に対して、それらマップ（写像）の疑似プロダクトマップ（写像）$f_{k+1}:T_0\to T_{1_2}\times T_{2_2}\times ...\times T_{k_2}=(f_1,f_2,...,f_k)$はコンティヌアス（連続）である。

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5: 証明 2

$f_i:T_0\to T_{i_2}$はコンティヌアス（連続）だから、$\widetilde{f_i}:T_0\times \{0\}\to T_{i_2}$、$\widetilde{f_i}(p,0)=(f_i(p))$は、コンティヌアス（連続）である、なぜなら、任意のオープンセット（開集合）$U\in T_{i_2}$に対して、${\widetilde{f_i}}^{-1}(U)=f_i^{-1}(U)\times \{0\}$、なぜなら、任意のポイント$(p,0)\in {\widetilde{f_i}}^{-1}(U)$に対して、$\widetilde{f_i}(p,0)=f_i(p)\in U$、したがって、$p\in f_i^{-1}(U)$、したがって、$(p,0)\in f_i^{-1}(U)\times \{0\}$、そして任意のポイント$(p,0)\in f_i^{-1}(U)\times \{0\}$に対して、$\widetilde{f_i}(p,0)=f(p)\in U$、したがって、$(p,0)\in {\widetilde{f_i}}^{-1}(U)$、そして、$f_i^{-1}(U)\times \{0\}$はプロダクトトポロジーによってオープンである。記述 1によって、$\widetilde{f_{k+1}}:T_0\times \{0\}\times \{0\}...\times \{0\}\to T_{1_2}\times T_{2_2}\times ...\times T_{k_2}=(\widetilde{f_1},\widetilde{f_2},...,\widetilde{f_k})$はコンティヌアス（連続）である。しかし、$f_{k+2}:T_0\to T_0\times \{0\}\times \{0\}...\times \{0\}$、$f_{k+2}(p)=(p,0,0,...,0)$はコンティヌアス（連続）である、なぜなら、任意のオープンセット（開集合）$U\in T_0\times \{0\}\times \{0\}...\times \{0\}$に対して、$U=U_0\times \{0\}\times \{0\}...\times \{0\}$、ここで、$U_0$は$T_0$上でオープン、プロダクトトポロジーによって、そして、$f_{k+2}^{-1}(U)=U_0$。さて、$f_{k+1}=\widetilde{f_{k+1}}\circ f_{k+2}$、コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちの合成、コンティヌアス（連続）。

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参考資料

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