2022年5月15日日曜日

72: プロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）はコンポーネントマップ（写像）たちによるプリイメージ（前像）たちのプロダクトである

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プロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）はコンポーネントマップ（写像）たちによるプリイメージ（前像）たちのプロダクトであることの記述/証明

話題


About: セット（集合）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のプロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）は当該コンポーネントマップ（写像）たちによるプリイメージ（前像）たちのプロダクトであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意の有限個のセット（集合）S1,iおよびS2,i、ここで、i=1,2,...,k、任意の対応する個数のマップ（写像）fi:S1,i→S2,i、それらマップ（写像）のプロダクトマップ（写像）fk+1:S1,1×S1,2×...×S1,k→S2,1×S2,2×...×S2,k=(f1,f2,...,fk)、任意の、対応する個数のサブセット（部分集合）S3,i⊆S2,iに対して、プロダクトサブセット（部分集合）S3,1×S3,2×...×S3,kの、プロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）fk+1−1(S3,1×S3,2×...×S3,k)は、サブセット（部分集合）のコンポーネントマップ（写像）によるプリイメージ（前像）たちのプロダクトf1−1(S3,1)×f2−1(S3,2)×...×fk−1(S3,k)に一致する、つまり、fk+1−1(S3,1×S3,2×...×S3,k)=f1−1(S3,1)×f2−1(S3,2)×...×fk−1(S3,k)。

2: 証明


任意の要素p=(p1,p2,...,pk)∈fk+1−1(S3,1×S3,2×...×S3,k)に対して、fk+1(p)=(f1(p1),f2(p2),...,fk(pk))∈S3,1×S3,2×...×S3,k、したがって、fi(pi)∈S3,i、したがって、pi∈fi−1(S3,i)、したがって、p=(p1,p2,...,pk)∈f1−1(S3,1)×f2−1(S3,2)×...×fk−1(S3,k)。任意の要素p=(p1,p2,...,pk)∈f1−1(S3,1)×f2−1(S3,2)×...×fk−1(S3,k)に対して、fk+1(p)=(f1(p1),f2(p2),...,fk(pk))、しかし、fi(pi)∈S3,i、したがって、fk+1(p)∈S3,1×S3,2×...×S3,k、したがって、p∈fk+1−1(S3,1×S3,2×...×S3,k)。

参考資料
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