プロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）はコンポーネントマップ（写像）たちによるプリイメージ（前像）たちのプロダクトであることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）は当該コンポーネントマップ（写像）たちによるプリイメージ（前像）たちのプロダクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の有限個のセット（集合）\(S_{1, i}\)および\(S_{2, i}\)、ここで、\(i = 1, 2, . . ., k\)、任意の対応する個数のマップ（写像）\(f_i: S_{1, i} \rightarrow S_{2, i}\)、それらマップ（写像）のプロダクトマップ（写像）\(f_{k + 1}: S_{1, 1} \times S_{1, 2} \times . . . \times S_{1, k} \rightarrow S_{2, 1} \times S_{2, 2} \times . . . \times S_{2, k} = (f_1, f_2, . . ., f_k)\)、任意の、対応する個数のサブセット（部分集合）\(S_{3, i} \subseteq S_{2, i}\)に対して、プロダクトサブセット（部分集合）\(S_{3, 1} \times S_{3, 2} \times . . . \times S_{3, k}\)の、プロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）\(f_{k + 1}^{-1} (S_{3, 1} \times S_{3, 2} \times . . . \times S_{3, k})\)は、サブセット（部分集合）のコンポーネントマップ（写像）によるプリイメージ（前像）たちのプロダクト\(f_1^{-1} (S_{3, 1}) \times f_2^{-1} (S_{3, 2}) \times . . . \times f_k^{-1} (S_{3, k})\)に一致する、つまり、\(f_{k + 1}^{-1} (S_{3, 1} \times S_{3, 2} \times . . . \times S_{3, k}) = f_1^{-1} (S_{3, 1}) \times f_2^{-1} (S_{3, 2}) \times . . . \times f_k^{-1} (S_{3, k})\)。
2: 証明
任意の要素\(p = (p_1, p_2, . . ., p_k) \in f_{k + 1}^{-1} (S_{3, 1} \times S_{3, 2} \times . . . \times S_{3, k})\)に対して、\(f_{k + 1} (p) = (f_1 (p_1), f_2 (p_2), . . ., f_k (p_k)) \in S_{3, 1} \times S_{3, 2} \times . . . \times S_{3, k}\)、したがって、\(f_i (p_i) \in S_{3, i}\)、したがって、\(p_i \in f_i^{-1} (S_{3, i})\)、したがって、\(p = (p_1, p_2, . . ., p_k) \in f_1^{-1} (S_{3, 1}) \times f_2^{-1} (S_{3, 2}) \times . . . \times f_k^{-1} (S_{3, k})\)。任意の要素\(p = (p_1, p_2, . . ., p_k) \in f_1^{-1} (S_{3, 1}) \times f_2^{-1} (S_{3, 2}) \times . . . \times f_k^{-1} (S_{3, k})\)に対して、\(f_{k + 1} (p) = (f_1 (p_1), f_2 (p_2), . . ., f_k (p_k))\)、しかし、\(f_i (p_i) \in S_{3, i}\)、したがって、\(f_{k + 1} (p) \in S_{3, 1} \times S_{3, 2} \times . . . \times S_{3, k}\)、したがって、\(p \in f_{k + 1}^{-1} (S_{3, 1} \times S_{3, 2} \times . . . \times S_{3, k})\)。
