オープンネイバーフッド（開近傍）上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して、マニフォールド（多様体）上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）でより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上でファンクション（関数）に等しいものが存在することの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、ある\(C^\infty\)バンプファンクション（関数）で当該オープンネイバーフッド（開近傍）内にサポートされていて当該クローズドサブセット（閉部分集合）のあるネイバーフッド（近傍）上で\(1\)であるものがあるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）全体上のある\(C^\infty\)ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないあるネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M\)、任意のポイント\(p_0 \in M\)、\(p_0\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{p_0}\)、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(f: U_{p_0} \to \mathbb{R}\)に対して、ある\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(\tilde{f}: M \to \mathbb{R}\)でポイント\(p_0\)のより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）\(N_{p_0}\)上で元のファンクション（関数）\(f\)に等しいものが存在する。
2: 証明
ある\(C^\infty\)バンプファンクション（関数）\(b: M \to \mathbb{R}\)で\(U_{p_0}\)内にサポートされていて、より小さいかもしれないあるネイバーフッド（近傍）\(N_{p_0} \subseteq U_{p_0}\)上で\(1\)に等しいものが存在する、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、ある\(C^\infty\)バンプファンクション（関数）で当該オープンネイバーフッド（開近傍）内にサポートされていて当該クローズドサブセット（閉部分集合）のあるネイバーフッド（近傍）上で\(1\)であるものがあるという命題によって。\(\tilde{f} (p) := b (p) f (p) \text{ for } p \in U_{p_0}; 0 \text{ for } p \notin U_{p_0}\)、\(C^\infty\)ファンクション（関数）、なぜなら、任意の\(p \in U_{p_0}\)に対して、それは、\(C^\infty\)ファンクション（関数）たちのプロダクト（積）であり、任意の\(p \notin U_{p_0}\)に対して、\(p \notin supp \text{ } b\)、なぜなら、\(supp \text{ } b \subseteq U_{p_0}\)、そして、\(supp \text{ } b\)はクローズド（閉）であるから、\(M \setminus supp \text{ } b\)はオープン（開）でそこに\(p\)は属し、したがって、\(p\)のネイバーフッド（近傍）で\(M \setminus supp \text{ } b\)内に包含されているあるネイバーフッド（近傍）があり、その中で、\(b (p) = 0\)、なぜなら、\(p\)は\(b\)のサポートの外にある、したがって、\(\tilde{f} (p) = 0\)。\(N_{p_0}\)上で、\(\tilde{f} = f\)、なぜなら、そこで\(b = 1\)。
3: 注
"\(f\)は\(\tilde{f}へ拡張できる\)"のような表現が使われがちであるが、\(\tilde{f}\)は本当には\(f\)の拡張ではない、なぜなら、\(\tilde{f}\)は\(U_{p_0}\)全体上で\(f\)に等しいと保証されていない。
