71: オープンネイバーフッド（開近傍）上のC∞ファンクション（関数）に対して、C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のC∞ファンクション（関数）でより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上でファンクション（関数）に等しいものが存在する

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オープンネイバーフッド（開近傍）上の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）に対して、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）でより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上でファンクション（関数）に等しいものが存在することの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義.
• 読者は、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、ある$C^{\mathrm{\infty }}$バンプ（隆起）ファンクション（関数）で当該オープンネイバーフッド（開近傍）内にサポートされて当該クローズドサブセット（閉部分集合）上で$1$であるものがあるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、全体上のある$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$p_0$: $\in M$
$U_{p_0}$: $\in \{p_0\text{ の }M\text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}$
$f$: $:U_{p_0}\to \mathbb{R}$, $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }\tilde{f}:M\to \mathbb{R},\mathrm{\exists }{N}_{p_0}\in \{p_0\text{ の }M\text{ 上における全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}\text{ で、以下を満たすもの、つまり、 }{N}_{p_0}\subseteq U_{p_0}(f{|}_{N_{p_0}}=\tilde{f}{|}_{N_{p_0}})$
//

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2: 自然言語記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、$M$、任意のポイント$p_0\in M$、$p_0$の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{p_0}\subseteq M$、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）$f:U_{p_0}\to \mathbb{R}$に対して、ある$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）$\tilde{f}:M\to \mathbb{R}$で　元のファンクション（関数）$f$に当該ポイント$p_0$のより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）$N_{p_0}\subseteq M$上で等しいものがある。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: ある$C^{\mathrm{\infty }}$バンプ（隆起）ファンクション（関数）$b:M\to \mathbb{R}$で$U_{p_0}$内にサポートされより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）$N_{p_0}\subseteq U_{p_0}$上で$1$に等しいものを取る; ステップ2: $\tilde{f}(p):=b(p)f(p)\text{ 、 }p\in U_{p_0}\text{ に対して };0\text{ 、 }p\notin U_{p_0}$ \text{ に対して }、を定義する; ステップ3: $\tilde{f}$は当該要件たちを満たすことを見る。

ステップ1:

ある$C^{\mathrm{\infty }}$バンプ（隆起）ファンクション（関数）$b:M\to \mathbb{R}$で$U_{p_0}$内にサポートされより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）$N_{p_0}\subseteq U_{p_0}$上で$1$に等しいものがある、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、ある$C^{\mathrm{\infty }}$バンプ（隆起）ファンクション（関数）で当該オープンネイバーフッド（開近傍）内にサポートされて当該クローズドサブセット（閉部分集合）上で$1$であるものがあるという命題によって: $\{p_0\}$を当該クローズドサブセット（閉部分集合）$U_{p_0}$を当該オープンネイバーフッド（開近傍）として取る。

ステップ2:

$\tilde{f}(p):=b(p)f(p)\text{ 、 }p\in U_{p_0}\text{ に対して };0\text{ 、 }p\notin U_{p_0}\text{ に対して }$を定義しよう。

ステップ3:

$\tilde{f}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、各$p\in U_{p_0}$に対して、それは$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）たちの積である、$C^{\mathrm{\infty }}$; 各$p\notin U_{p_0}$に対して、$p\notin suppb$、なぜなら、$suppb\subseteq U_{p_0}$、そして、$suppb$はクローズド（閉）であるから、$M\setminus suppb$はオープン（開）でそこに$p$は属し、したがって、there is a neighborhood of $p$のあるネイバーフッド（近傍）で$M\setminus suppb$（その中で$b$は$0$）内に包含されたものがある、したがって、$\tilde{f}$はそこで$0$である、$C^{\mathrm{\infty }}$; $\tilde{f}$は$M$上の各ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）上で$C^{\mathrm{\infty }}$であるから、$\tilde{f}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

$N_{p_0}$上で、$\tilde{f}=f$、なぜなら、$b=1$である、そこで。

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4: 注

"$f$は$\tilde{f}$へ拡張できる"のような表現が使われがちだが、$\tilde{f}$は本当には$f$のエクステンション（拡張）ではない、なぜなら、$\tilde{f}$は$U_{p_0}$全体上で$f$に等しくなる保証がない。

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参考資料

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