オープンネイバーフッド（開近傍）上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）でより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上でファンクション（関数）に等しいものが存在することの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義.
- 読者は、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、ある\(C^\infty\)バンプ（隆起）ファンクション（関数）で当該オープンネイバーフッド（開近傍）内にサポートされて当該クローズドサブセット（閉部分集合）上で\(1\)であるものがあるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、全体上のある\(C^\infty\)ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(p_0\): \(\in M\)
\(U_{p_0}\): \(\in \{p_0 \text{ の } M \text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}\)
\(f\): \(: U_{p_0} \to \mathbb{R}\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists \widetilde{f}: M \to \mathbb{R}, \exists N_{p_0} \in \{p_0 \text{ の } M \text{ 上における全てのネイバーフッド（近傍）たち }\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } N_{p_0} \subseteq U_{p_0} (f \vert_{N_{p_0}} = \widetilde{f} \vert_{N_{p_0}})\)
//
2: 自然言語記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、\(M\)、任意のポイント\(p_0 \in M\)、\(p_0\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{p_0} \subseteq M\)、任意の\(C^\infty\)マップ（写像）\(f: U_{p_0} \to \mathbb{R}\)に対して、ある\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(\widetilde{f}: M \to \mathbb{R}\)で 元のファンクション（関数）\(f\)に当該ポイント\(p_0\)のより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）\(N_{p_0} \subseteq M\)上で等しいものがある。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: ある\(C^\infty\)バンプ（隆起）ファンクション（関数）\(b: M \to \mathbb{R}\)で\(U_{p_0}\)内にサポートされより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）\(N_{p_0} \subseteq U_{p_0}\)上で\(1\)に等しいものを取る; ステップ2: \(\widetilde{f} (p) := b (p) f (p) \text{ 、 } p \in U_{p_0} \text{ に対して }; 0 \text{ 、 } p \notin U_{p_0}\) \text{ に対して }、を定義する; ステップ3: \(\widetilde{f}\)は当該要件たちを満たすことを見る。
ステップ1:
ある\(C^\infty\)バンプ（隆起）ファンクション（関数）\(b: M \to \mathbb{R}\)で\(U_{p_0}\)内にサポートされより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）\(N_{p_0} \subseteq U_{p_0}\)上で\(1\)に等しいものがある、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、ある\(C^\infty\)バンプ（隆起）ファンクション（関数）で当該オープンネイバーフッド（開近傍）内にサポートされて当該クローズドサブセット（閉部分集合）上で\(1\)であるものがあるという命題によって: \(\{p_0\}\)を当該クローズドサブセット（閉部分集合）\(U_{p_0}\)を当該オープンネイバーフッド（開近傍）として取る。
ステップ2:
\(\widetilde{f} (p) := b (p) f (p) \text{ 、 } p \in U_{p_0} \text{ に対して }; 0 \text{ 、 } p \notin U_{p_0} \text{ に対して }\)を定義しよう。
ステップ3:
\(\widetilde{f}\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、各\(p \in U_{p_0}\)に対して、それは\(C^\infty\)ファンクション（関数）たちの積である、\(C^\infty\); 各\(p \notin U_{p_0}\)に対して、\(p \notin supp \text{ } b\)、なぜなら、\(supp \text{ } b \subseteq U_{p_0}\)、そして、\(supp \text{ } b\)はクローズド（閉）であるから、\(M \setminus supp \text{ } b\)はオープン（開）でそこに\(p\)は属し、したがって、there is a neighborhood of \(p\)のあるネイバーフッド（近傍）で\(M \setminus supp \text{ } b\)（その中で\(b\)は\(0\)）内に包含されたものがある、したがって、\(\widetilde{f}\)はそこで\(0\)である、\(C^\infty\); \(\widetilde{f}\)は\(M\)上の各ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）上で\(C^\infty\)であるから、\(\widetilde{f}\)は\(C^\infty\)である。
\(N_{p_0}\)上で、\(\widetilde{f} = f\)、なぜなら、\(b = 1\)である、そこで。
4: 注
"\(f\)は\(\widetilde{f}\)へ拡張できる"のような表現が使われがちだが、\(\widetilde{f}\)は本当には\(f\)のエクステンション（拡張）ではない、なぜなら、\(\widetilde{f}\)は\(U_{p_0}\)全体上で\(f\)に等しくなる保証がない。
