コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題の記述および命題を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の有限個のトポロジカルスペース（空間）\(T_{1, i}\)および\(T_{2, i}\)、ここで、\(i = 1, 2, . . ., k\)、任意の対応する個数のコンティヌアス（連続）マップ（写像）\(f_i: T_{1, i} \rightarrow T_{2, i}\)に対して、それらマップ（写像）のプロダクトマップ（写像）\(f_{k + 1}: T_{1, 1} \times T_{1, 2} \times . . . \times T_{1, k} \rightarrow T_{2, 1} \times T_{2, 2} \times . . . \times T_{2, k} = (f_1, f_2, . . ., f_k)\)はコンティヌアス（連続）である。
2: 証明
任意のオープンセット（開集合）\(U \in T_{2, 1} \times T_{2, 2} \times . . . \times T_{2, k}\)に対して、\(U = \cup_{\alpha \in A} U_{1, \alpha} \times U_{2, \alpha} \times . . . \times U_{k, \alpha}\)、ここで、\(A\)は、不可算であるかもしれないインデックスセット（集合）であり\(U_{j, \alpha} \subseteq T_{2, j}\)は\(T_{2, j}\)上でオープンである、プロダクトトポロジーによって、プロダクトトポロジーの定義の記事内の注に基づいて。\(f_{k + 1}^{-1} (U) = \cup_{\alpha \in A} f_{k + 1}^{-1} (U_{1, \alpha} \times U_{2, \alpha} \times . . . \times U_{k, \alpha})\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）のマップ（写像）プリイメージたちのユニオン（和集合）であるという命題によって。\(f_{k + 1}^{-1} (U_{1, \alpha} \times U_{2, \alpha} \times . . . \times U_{k, \alpha})\)のオープン性を示せば十分である。\(f_{k + 1}^{-1} (U_{1, \alpha} \times U_{2, \alpha} \times . . . \times U_{k, \alpha}) = f_1^{-1} (U_{1, \alpha}) \times f_2^{-1} (U_{2, \alpha}) \times . . . \times f_k^{-1} (U_{k, \alpha})\)、任意のプロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）は コンポーネントマップ（写像）によるプリイメージ（前像）たちのプロダクトであるという命題によって。\(f_j\)はコンティヌアス（連続）であるから\(f_j^{-1} (U_{j, \alpha})\)は\(T_{1, j}\)上でオープンであり、それらのプロダクトは\(T_{1, 1} \times T_{1, 2} \times . . . \times T_{1, k}\)上でプロダクトトポロジーによってオープンである。
