73: コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）はコンティヌアス（連続）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であることの記述/証明

---

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のプロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）は　コンポーネントマップ（写像）によるプリイメージ（前像）たちのプロダクトであるという命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題の記述および命題を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意の有限個のトポロジカルスペース（空間）$T_{1,i}$および$T_{2,i}$、ここで、$i=1,2,...,k$、任意の対応する個数のコンティヌアス（連続）マップ（写像）$f_i:T_{1,i}\to T_{2,i}$に対して、それらマップ（写像）のプロダクトマップ（写像）$f_{k+1}:T_{1,1}\times T_{1,2}\times ...\times T_{1,k}\to T_{2,1}\times T_{2,2}\times ...\times T_{2,k}=(f_1,f_2,...,f_k)$はコンティヌアス（連続）である。

---

2: 証明

任意のオープンセット（開集合）$U\in T_{2,1}\times T_{2,2}\times ...\times T_{2,k}$に対して、$U={\cup }_{\alpha \in A}{U}_{1,\alpha }\times U_{2,\alpha }\times ...\times U_{k,\alpha }$、ここで、$A$は、不可算であるかもしれないインデックスセット（集合）であり$U_{j,\alpha }\subseteq T_{2,j}$は$T_{2,j}$上でオープンである、プロダクトトポロジーによって、プロダクトトポロジーの定義の記事内の注に基づいて。$f_{k+1}^{-1}(U)={\cup }_{\alpha \in A}{f}_{k+1}^{-1}(U_{1,\alpha }\times U_{2,\alpha }\times ...\times U_{k,\alpha })$、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）のマップ（写像）プリイメージたちのユニオン（和集合）であるという命題によって。$f_{k+1}^{-1}(U_{1,\alpha }\times U_{2,\alpha }\times ...\times U_{k,\alpha })$のオープン性を示せば十分である。$f_{k+1}^{-1}(U_{1,\alpha }\times U_{2,\alpha }\times ...\times U_{k,\alpha })=f_1^{-1}(U_{1,\alpha })\times f_2^{-1}(U_{2,\alpha })\times ...\times f_k^{-1}(U_{k,\alpha })$、任意のプロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）は　コンポーネントマップ（写像）によるプリイメージ（前像）たちのプロダクトであるという命題によって。$f_j$はコンティヌアス（連続）であるから$f_j^{-1}(U_{j,\alpha })$は$T_{1,j}$上でオープンであり、それらのプロダクトは$T_{1,1}\times T_{1,2}\times ...\times T_{1,k}$上でプロダクトトポロジーによってオープンである。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>