カテゴリー（圏）の定義
話題
About: カテゴリー
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モーフィズム（射）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、カテゴリー（圏）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(*C\): \(= \text{ オブジェクトたちの任意のコレクション }, Obj (C) = \{O_\alpha \vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、で、モーフィズムたちの任意のコレクション\(Mor (C) = \{Mor (O_1, O_2) \vert O_1, O_2 \in Obj (C)\}\)を持ったもの
コンディションたち:
\(\forall O_1, O_2, O_3, O_4 \in Obj (C), \forall f_1 \in Mor (O_1, O_2), \forall f_2 \in Mor (O_2, O_3), \forall f_3 \in Mor (O_3, O_4)\)
(
1) \(f_2 \circ f_1 \in Mor (O_1, O_3)\)
2) \(\exists id_{O_j} \in Mor (O_j, O_j) (f_1 \circ id_{O_1} = f_1 \land id_{O_2} \circ f_1 = f_1)\)
3) \(f_3 \circ (f_2 \circ f_1) = (f_3 \circ f_2) \circ f_1\)
)
//
2: 自然言語記述
オブジェクトたちの任意のコレクション\(Obj (C) = \{O_\alpha \vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、で、以下を満たすモーフィズムたちの任意のコレクション\(Mor (C) = \{Mor (O_1, O_2) \vert O_1, O_2 \in Obj (C)\}\)を持ったもの、つまり、各\(O_1, O_2, O_3, O_4 \in Obj (C)\)および各\(f_1 \in Mor (O_1, O_2), f_2 \in Mor (O_2, O_3), f_3 \in Mor (O_3, O_4)\)に対して、1) \(f_2 \circ f_1 \in Mor (O_1, O_3)\); 2) \(\exists id_{O_j} \in Mor (O_j, O_j) (f_1 \circ id_{O_1} = f_1 \land id_{O_2} \circ f_1 = f_1)\); 3) \(f_3 \circ (f_2 \circ f_1) = (f_3 \circ f_2) \circ f_1\)
3: 注
典型的には、各オブジェクトはセット（集合）であり各モーフィズムはマップ（写像）である、しかし、それらは一般化されて必ずしもそうでないとされている。
