80: %ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）

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%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義

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話題

About: ストラクチャー（構造）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ストラクチャー（構造）の定義の定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）の定義.を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S$: $\in \{\text{ 全てのストラクチャー（構造）たち種類たち }\}$
$S_1$: $\in \{S\text{ 種類の全てのストラクチャー（構造）たち }\}$
$S_2$: $\in \{S\text{ 種類の全てのストラクチャー（構造）たち }\}$
$\ast f$: $S_1\to S_2$
//

コンディションたち:
$f$は$S_1$のストラクチャー（構造）を$S_2$内に保つ。
//

"$f$は$S_1$のストラクチャー（構造）を$S_2$内に保つ"の詳細は当該ストラクチャー（構造）に依存するが、それは、正しく推測できるものだ（少なくとも大抵は）; 例えば、$S$がグループ（群）である時は、それが意味するのは、任意の要素たちのプロダクト（積）は当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップされ、アイデンティティ（単位）要素はアイデンティティ（単位）要素へマップされ、任意の要素のインバース（逆）は当該要素のイメージ（像）のインバース（逆）へマップされるということ。

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2: 自然言語記述

任意のストラクチャー（構造）たち種類$S$、$S$種類の任意のストラクチャー（構造）$S_1$、$S$種類の任意のストラクチャー（構造）$S_2$に対して、任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$で、$S_1$のストラクチャー（構造）を$S_2$内に保つもの

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3: 注

グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）の頻繁に見られるある定義は、任意の要素たちのプロダクト（積）は当該要素タッチのイメージ（像）たちのプロダクト（積）であることのみを要求するが、その理由は、グループの性質がゆえに、アイデンティティ（単位）要素がアイデンティティ（単位）要素へマップされ、任意の要素のインバース（逆）が当該要素のイメージ（像）のインバース（像）へマップされることを、それが保証することであるが、私たちは、全ての要求たちを定義内に含むことの方を好む。その理由は、'ホモモーフィズム（準同形写像）'の一般的概念は全ての要件を要求することであり、もしも、グループ（群）が、当該要件たちの1部分だけが残りたちを保証するという性質をたまたま持っていたとしても、それは結果に過ぎないこと。私たちは、グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）の定義をフル要件たちで持ち、当該要件たちの1部が残りたちを保証するという命題を持てばよい、それが、適切な議論であるように思われる。

別の例として、リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）の頻繁に見られるある定義は、アディティブ（加法）アイデンティティ（単位）要素がアディティブ（加法）アイデンティティ（単位）要素へマップされることを要求しないが、マルチプリカティブ（乗法）アイデンティティ（単位）要素がマルチプリカティブ（乗法）アイデンティティ（単位）要素へマップされることは要求する、その理由は、前者要求は自動的に保証されるが、後者要求ははそうでないこと、しかし、それは、定義が前者要求を要求しないという問題であるべきではなく、前者要求は自動的に保証されるという命題があるという問題である。

もちろん、それら頻繁に見られる定義たちは何らの実用的問題を引き起こさないが、その考え方は重要であるように思われる。

しばしば、単に"ホモモーフィズム（準同形写像）"と呼ばれるが、あるマップ（写像）が単に"ホモモーフィズム（準同形写像）"であるということは決してなく、グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であったり、ベクトルたちスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）であったりと、そのマップ（写像）のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）が何の種類のストラクチャー（構造）たちのものであるとみなされているかによるのであって、それが、本記事のタイトルが"%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）"と、%ストラクチャー（構造）種類名%というプレースホルダー付きになっている理由である。

例えば、もしも、ドメイン（定義域）$S_1$およびコドメイン（余域）$S_2$がベクトルたちスペース（空間）であるとき（それは、それらは、自動的に、アディション（加法）をグループ（群）オペレーション（演算）としてグループ（群）たちでもあることを意味する）、あるマップ（写像）は、グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であるが、ベクトルたちスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）ではないかもしれない。

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参考資料

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