コバリアント（共変）ファンクター（関手）の定義
話題
About: カテゴリー
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、カテゴリー（圏）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、コバリアント（共変）ファンクター（関手）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( C_1\): \(\in \{\text{ 全てのカテゴリーたち }\}\)
\( C_2\): \(\in \{\text{ 全てのカテゴリーたち }\}\)
\(*F\): \(: Obj (C_1) \to Obj (C_2), Mor (C_1) \to Mor (C_2)\)
//
コンディションたち:
\(\forall O_1, O_2, O_3 \in Obj (C_1), \forall f_1 \in Mor (O_1, O_2), \forall f_2 \in Mor (O_2, O_3)\)
(
1) \(F (f_1) \in Mor (F (O_1), F (O_2))\)
2) \(F (id_{O_1}) = id_{F (O_1)}\)
3) \(F (f_2 \circ f_1) = F (f_2) \circ F (f_1)\)
)
//
2: 自然言語記述
任意のカテゴリーたち\(C_1, C_2\)に対して、以下を満たす任意のマップ\(F: Obj (C_1) \to Obj (C_2), Mor (C_1) \to Mor (C_2)\)、つまり、任意のオブジェクトたち\(O_1, O_2, O_3 \in Obj (C_1)\)および任意のモーフィズムたち\(f_1 \in Mor (O_1, O_2)\)および\(f_2 \in Mor (O_2, O_3)\)に対して、1) \(F (f_1) \in Mor (F (O_1), F (O_2))\); 2) \(F (id_{O_1}) = id_{F (O_1)}\); 3) \(F (f_2 \circ f_1) = F (f_2) \circ F (f_1)\)
3: 注
\(F: Obj (C_1) \to Obj (C_2), Mor (C_1) \to Mor (C_2)\)は通常のマップ（写像）表現ではないが、\(F\)は実のところ同一の名称が与えられたマップ（写像）たちのペアである。
'コントラバリアント（反変）ファンクター（関手）'もある。
