83: コバリアント（共変）ファンクター（関手）|T.B.P.日本語版

2022年6月12日日曜日

83: コバリアント（共変）ファンクター（関手）

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コバリアント（共変）ファンクター（関手）の定義

話題

About: カテゴリー

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 構造化された記述
2: 自然言語記述
3: 注

開始コンテキスト

読者は、カテゴリー（圏）の定義を知っている。

ターゲットコンテキスト

読者は、コバリアント（共変）ファンクター（関手）の定義を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

C_{1}

:

\in {全てのカテゴリーたち}

C_{2}

:

\in {全てのカテゴリーたち}

* F

:

: O b j (C_{1}) \to O b j (C_{2}), M o r (C_{1}) \to M o r (C_{2})

//

コンディションたち:

\forall O_{1}, O_{2}, O_{3} \in O b j (C_{1}), \forall f_{1} \in M o r (O_{1}, O_{2}), \forall f_{2} \in M o r (O_{2}, O_{3})

(
1)

F (f_{1}) \in M o r (F (O_{1}), F (O_{2}))

2)

F (i d_{O_{1}}) = i d_{F (O_{1})}

3)

F (f_{2} \circ f_{1}) = F (f_{2}) \circ F (f_{1})

)
//

2: 自然言語記述

任意のカテゴリーたち

C_{1}, C_{2}

に対して、以下を満たす任意のマップ

F : O b j (C_{1}) \to O b j (C_{2}), M o r (C_{1}) \to M o r (C_{2})

、つまり、任意のオブジェクトたち

O_{1}, O_{2}, O_{3} \in O b j (C_{1})

および任意のモーフィズムたち

f_{1} \in M o r (O_{1}, O_{2})

および

f_{2} \in M o r (O_{2}, O_{3})

に対して、1)

F (f_{1}) \in M o r (F (O_{1}), F (O_{2}))

; 2)

F (i d_{O_{1}}) = i d_{F (O_{1})}

; 3)

F (f_{2} \circ f_{1}) = F (f_{2}) \circ F (f_{1})

3: 注

F : O b j (C_{1}) \to O b j (C_{2}), M o r (C_{1}) \to M o r (C_{2})

は通常のマップ（写像）表現ではないが、

F

は実のところ同一の名称が与えられたマップ（写像）たちのペアである。

'コントラバリアント（反変）ファンクター（関手）'もある。

参考資料

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