90: リング（環）のアイディアル（イデアル）

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リング（環）のアイディアル（イデアル）の定義

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、リング（環）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、リング（環）のアイディアル（イデアル）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}$
$\ast I_l$: $\in \{R\text{ の全てのアディティブ（加法における）サブグループ（部分群）たち }\}$
$\ast I_r$: $\in \{R\text{ の全てのアディティブ（加法における）サブグループ（部分群）たち }\}$
$\ast I_b$: $\in \{R\text{ の全てのアディティブ（加法における）サブグループ（部分群）たち }\}$
//

コンディションたち:
$R{I}_l=I_l$
$\wedge$
$I_{r}R=I_r$
$\wedge$
$R{I}_b=I_{b}R=I_b$
//

$I_l$は、"レフトアイディアル（左イデアル）"と呼ばれる; $I_r$は、"ライトアイディアル（右イデアル）"と呼ばれる; $I_b$は、"ボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）"または"アイディアル（左イデアル）"と呼ばれる。

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2: 自然言語記述

任意のリング（環）$R$に対して、以下を満たす任意のアディティブ（加法における）サブグループ（部分群）$I_l\subseteq R$、つまり、$R{I}_l=I_l$、は、"レフトアイディアル（左イデアル）"と呼ばれる; 以下を満たす任意のアディティブ（加法における）サブグループ（部分群）$I_r\subseteq R$、つまり、$I_{r}R=I_r$、は、"ライトアイディアル（右イデアル）"と呼ばれる; 以下を満たす任意のアディティブ（加法における）サブグループ（部分群）$I_b\subseteq R$、つまり、$R{I}_b=I_{b}R=I_b$、は、"ボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）"または"アイディアル（左イデアル）"と呼ばれる

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3: 注

条件$R{I}_l=I_l$は、条件$\mathrm{\forall }{p}_1\in R,\mathrm{\forall }{p}_2\in I_l(p_1{p}_2\in I_l)$と同値である、なぜなら、前者を仮定すると、後者は明らかに満たされる; 後者を仮定すると、$R{I}_l\subseteq I_l$、しかし、$1\in R$であるから、$I_l\subseteq R{I}_l$、したがって、$R{I}_l=I_l$: マルチプリカティブ（乗法における）アイデンティティ（単位要素）の存在を要求するリング（環）の定義を私たちは採用した。

同様に、$I_{r}R=I_r$は$\mathrm{\forall }{p}_1\in R,\mathrm{\forall }{p}_2\in I_r(p_2{p}_1\in I_r)$と同値である。

同様に、$R{I}_b=I_{b}R=I_b$は、$\mathrm{\forall }{p}_1\in R,\mathrm{\forall }{p}_2\in I_b(p_1{p}_2\in I_b\wedge p_2{p}_1\in I_b)$と同値である。

$R$がコミュータティブ（可換）である時は、各レフトアイディアル（左イデアル）またはライトアイディアル（右イデアル）は、ボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）である。

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参考資料

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