リング（環）のアイディアル（イデアル）の定義
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リング（環）のアイディアル（イデアル）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(*I_l\): \(\in \{R \text{ の全てのアディティブ（加法における）サブグループ（部分群）たち }\}\)
\(*I_r\): \(\in \{R \text{ の全てのアディティブ（加法における）サブグループ（部分群）たち }\}\)
\(*I_b\): \(\in \{R \text{ の全てのアディティブ（加法における）サブグループ（部分群）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(R I_l = I_l\)
\(\land\)
\(I_r R = I_r\)
\(\land\)
\(R I_b = I_b R = I_b\)
//
\(I_l\)は、"レフトアイディアル（左イデアル）"と呼ばれる; \(I_r\)は、"ライトアイディアル（右イデアル）"と呼ばれる; \(I_b\)は、"ボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）"または"アイディアル（左イデアル）"と呼ばれる。
2: 自然言語記述
任意のリング（環）\(R\)に対して、以下を満たす任意のアディティブ（加法における）サブグループ（部分群）\(I_l \subseteq R\)、つまり、\(R I_l = I_l\)、は、"レフトアイディアル（左イデアル）"と呼ばれる; 以下を満たす任意のアディティブ（加法における）サブグループ（部分群）\(I_r \subseteq R\)、つまり、\(I_r R = I_r\)、は、"ライトアイディアル（右イデアル）"と呼ばれる; 以下を満たす任意のアディティブ（加法における）サブグループ（部分群）\(I_b \subseteq R\)、つまり、\(R I_b = I_b R = I_b\)、は、"ボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）"または"アイディアル（左イデアル）"と呼ばれる
3: 注
条件\(R I_l = I_l\)は、条件\(\forall p_1 \in R, \forall p_2 \in I_l (p_1 p_2 \in I_l)\)と同値である、なぜなら、前者を仮定すると、後者は明らかに満たされる; 後者を仮定すると、\(R I_l \subseteq I_l\)、しかし、\(1 \in R\)であるから、\(I_l \subseteq R I_l\)、したがって、\(R I_l = I_l\): マルチプリカティブ（乗法における）アイデンティティ（単位要素）の存在を要求するリング（環）の定義を私たちは採用した。
同様に、\(I_r R = I_r\)は\(\forall p_1 \in R, \forall p_2 \in I_r (p_2 p_1 \in I_r)\)と同値である。
同様に、\(R I_b = I_b R = I_b\)は、\(\forall p_1 \in R, \forall p_2 \in I_b (p_1 p_2 \in I_b \land p_2 p_1 \in I_b)\)と同値である。
\(R\)がコミュータティブ（可換）である時は、各レフトアイディアル（左イデアル）またはライトアイディアル（右イデアル）は、ボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）である。
