91: リング（環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

リング（環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）の定義

---

話題

About: リング（環）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

---

開始コンテキスト

• 読者は、リング（環）の定義を知っている。
• 読者は、リング（環）のアイディアル（イデアル）の定義を知っている。
• 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、リング（環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）の定義を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}$
$I$: $\in \{R\text{ の全ての両側アイディアル（イデアル）たち }\}$
$\ast R/I$: $=\text{ アディティブ（加法）クウォシェント（商）グループ（群） }$で、下に指定されたマルチプリケーション（乗法）を持つリング（環）
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }[p_1],[p_2]\in R/I([p_1][p_2]=[p_1{p}_2])$
//

$I$はアディティブ（加法）ノーマルサブグループ（正規部分群）であるから、当該アディティブ（加法）クウォシェント（商）グループ（群）は意味を成す。$R/I$のアディション（加法）は勿論、当該アディティブ（加法）クウォシェント（商）グループ（群）のアディション（加法）である。

当該マルチプリケーション（乗法）はウェルデファインド（妥当に定義された）である: 各$[p_1]=[p_1^{\prime }]$および$[p_2]=[p_2^{\prime }]$に対して、以下を満たす何らかの$i_1,i_2\in I$、つまり、$p_1^{\prime }=p_1+i_1$および$p_2^{\prime }=p_2+i_2$、があり、$[p_1^{\prime }{p}_2^{\prime }]=[(p_1+i_1)(p_2+i_2)]=[p_1{p}_2+p_1{i}_2+i_1{p}_2+i_1{i}_2]=[p_1{p}_2]$、なぜなら、$p_1{i}_2+i_1{p}_2+i_1{i}_2\in I$。

---

2: 自然言語記述

任意のリング（環）$R$、その任意の両側アイディアル（イデアル）$I$に対して、アディティブ（加法）クウォシェント（商）グループ（群）$R/I$で、マルチプリケーション（乗法）$[p_1][p_2]=[p_1{p}_2]$を持つリング（環）

---

3: 注

$R/I$は実際にリング（環）である: 1) それは、アディション（加法）の下にアーベリアンである: それは、アーベリアングループ（群）のアディティブ（加法）クウォシェント（商）グループ（群）である; 2) それは、マルチプリケーション（乗法）の下でモノイドである: アソシアティビティ（結合性）は成立する、なぜなら、$([p_1][p_2])[p_3]=[p_1{p}_2][p_3]=[(p_1{p}_2)p_3]=[p_1(p_2{p}_3)]=[p_1][p_2{p}_3]=[p_1]([p_2][p_3])$; $[1]$はアイデンティティ（単位要素）である、なぜなら、$[1][p]=[1p]=[p]=[p1]=[p][1]$; 3) マルチプリケーション（乗法）はアディション（加法）に関してディストリビューティブ（分配的）である: $[p_1]([p_2]+[p_3])=[p_1][p_2+p_3]=[p_1(p_2+p_3)]=[p_1{p}_2+p_1{p}_3]=[p_1{p}_2]+[p_1{p}_3]=[p_1][p_2]+[p_1][p_3]$および$([p_1]+[p_2])[p_3]=[p_1+p_2][p_3]=[(p_1+p_2)p_3]=[p_1{p}_3+p_2{p}_3]=[p_1{p}_3]+[p_2{p}_3]=[p_1][p_3]+[p_2][p_3]$。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>