リング（環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）の定義
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）のアイディアル（イデアル）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リング（環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\( I\): \(\in \{R \text{ の全ての両側アイディアル（イデアル）たち }\}\)
\(*R / I\): \(= \text{ アディティブ（加法）クウォシェント（商）グループ（群） }\)で、下に指定されたマルチプリケーション（乗法）を持つリング（環）
//
コンディションたち:
\(\forall [p_1], [p_2] \in R / I ([p_1] [p_2] = [p_1 p_2])\)
//
\(I\)はアディティブ（加法）ノーマルサブグループ（正規部分群）であるから、当該アディティブ（加法）クウォシェント（商）グループ（群）は意味を成す。\(R / I\)のアディション（加法）は勿論、当該アディティブ（加法）クウォシェント（商）グループ（群）のアディション（加法）である。
当該マルチプリケーション（乗法）はウェルデファインド（妥当に定義された）である: 各\([p_1] = [p'_1]\)および\([p_2] = [p'_2]\)に対して、以下を満たす何らかの\(i_1, i_2 \in I\)、つまり、\(p'_1 = p_1 + i_1\)および\(p'_2 = p_2 + i_2\)、があり、\([p'_1 p'_2] = [(p_1 + i_1) (p_2 + i_2)] = [p_1 p_2 + p_1 i_2 + i_1 p_2 + i_1 i_2] = [p_1 p_2]\)、なぜなら、\(p_1 i_2 + i_1 p_2 + i_1 i_2 \in I\)。
2: 自然言語記述
任意のリング（環）\(R\)、その任意の両側アイディアル（イデアル）\(I\)に対して、アディティブ（加法）クウォシェント（商）グループ（群）\(R / I\)で、マルチプリケーション（乗法）\([p_1] [p_2] = [p_1 p_2]\)を持つリング（環）
3: 注
\(R / I\)は実際にリング（環）である: 1) それは、アディション（加法）の下にアーベリアンである: それは、アーベリアングループ（群）のアディティブ（加法）クウォシェント（商）グループ（群）である; 2) それは、マルチプリケーション（乗法）の下でモノイドである: アソシアティビティ（結合性）は成立する、なぜなら、\(([p_1] [p_2]) [p_3] = [p_1 p_2] [p_3] = [(p_1 p_2) p_3] = [p_1 (p_2 p_3)] = [p_1] [p_2 p_3] = [p_1] ([p_2] [p_3])\); \([1]\)はアイデンティティ（単位要素）である、なぜなら、\([1] [p] = [1 p] = [p] = [p 1] = [p] [1]\); 3) マルチプリケーション（乗法）はアディション（加法）に関してディストリビューティブ（分配的）である: \([p_1] ([p_2] + [p_3]) = [p_1] [p_2 + p_3] = [p_1 (p_2 + p_3)] = [p_1 p_2 + p_1 p_3] = [p_1 p_2] + [p_1 p_3] = [p_1] [p_2] + [p_1] [p_3]\)および\(([p_1] + [p_2]) [p_3] = [p_1 + p_2] [p_3] = [(p_1 + p_2) p_3] = [p_1 p_3 + p_2 p_3] = [p_1 p_3] + [p_2 p_3] = [p_1] [p_3] + [p_2] [p_3]\)。
