レギュラーサブマニフォールド（多様体）上のチャートはアダプティングチャートの拡張であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、レギュラーサブマニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）間マップ（写像）に対して、その、トポロジー上の意味におけるコンティヌアス（連続）性は、その、座標ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるコンティヌアス（連続）性と同等であるという命題を認めている。
- 読者は、ドメイン（領域）のインバリアンス（不変性）定理: 任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）上の任意のオープンセット（開集合）から任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）への任意のインジェクティブ（単射）コンティヌアス（連続）マップ（写像）は、オープンマップ（開写像）であるを認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）上の任意のチャートは、あるアダプティングチャートの拡張であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(n\)次元\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）Mおよび任意の\(n_1\)次元レギュラーサブマニフォールド（多様体）\(M_1 \subseteq M\)に対して、任意のポイント\(p \in M_1\)周りの任意の\(M_1\)上チャート\((U_p, \phi)\) 、ここで\(U_p \subseteq M_1\)、は、あるアダプティングチャート\((U'_p \cap M_1, \pi \circ \phi'|_{U'_p \cap M_1})\)の拡張である、ここで\((U'_p, \phi')\)は対応するアダプテッドチャートであり、\(U'_p \subseteq M\)および\(\pi\)は常に'0'である\(n_1 + 1\) ~ \(n\)座標の除去である。
2: 証明
\(p\)周りに、あるアダプティングチャート\((U''_p \cap M_1, \pi \circ \phi''|_{U''_p \cap M_1})\)がある、ここで\((U''_p, \phi'')\)は対応するアダプテッドチャートであり、\(U''_p \subseteq M\)。\(U_p\)は当該サブスペース（部分空間）トポロジーでオープン（開）であるので、\(U_p = U'''_p \cap M_1\)、ここで\(U'''_p \subseteq M\)は\(M\)上でオープン（開）。したがって、\(U_p \cap U''_p \cap M_1 = U'''_p \cap M_1 \cap U''_p \cap M_1 = U''_p \cap U'''_p \cap M_1\)、そして\((U''_p \cap U'''_p \cap M_1, \pi \circ \phi''|_{U''_p \cap U'''_p \cap M_1})\)は\((U''_p \cap U'''_p, \phi''|_{U''_p \cap U'''_p})\)をアダプテッドチャートとするアダプティングチャートである。他方で、\((U_p \cap U''_p \cap M_1 = U''_p \cap U'''_p \cap M_1, \phi|_{U''_p \cap U'''_p \cap M_1})\)は\(M_1\)上のチャートである。
あるディフェオモーフィズム（微分同相写像）\(f: \pi \circ \phi'' (U''_p \cap U'''_p \cap M_1) \rightarrow \phi (U''_p \cap U'''_p \cap M_1)\)がある、なぜなら、それら2チャートたちは同じアトラス（座標近傍系）に属しているから、そして、以下を満たすあるインジェクティブ（単射）マップ（写像）\(f': \phi'' (U''_p \cap U'''_p) \rightarrow \mathbb{R}^n\)を定義する、つまり、1 ~ \(n_1\)コンポーネントたちは\(f\)によってマップされ、残りのコンポーネントたちはアイデンティカル（恒等）にマップされる。任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）間マップ（写像）に対して、その、トポロジー上の意味におけるコンティヌアス（連続）性は、その、座標ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるコンティヌアス（連続）性と同等であるという命題によって、\(f'\)はコンティヌアス（連続）である、また、ドメイン（領域）のインバリアンス（不変性）定理: 任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）上の任意のオープンセット（開集合）から任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）への任意のインジェクティブ（単射）コンティヌアス（連続）マップ（写像）は、オープンマップ（開写像）であるによって、\(f'\)はオープンマップ（開写像）である、したがって、\(f' (\phi'' (U''_p \cap U'''_p))\)はオープン（開）である、そして、\(f': \phi'' (U''_p \cap U'''_p) \rightarrow f' (\phi'' (U''_p \cap U'''_p))\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）、実のところ、明らかに、ディフェオモーフィズム（微分同相写像）である。したがって、\((U''_p \cap U'''_p, f' \circ \phi'')\)はチャートであり、\(f' \circ \phi'' (U''_p \cap U'''_p \cap M_1)\)は、\(f' \circ \phi'' (U''_p \cap U'''_p)\)の\(n_1 + 1\) ~ \(n\)コンポーネントたちを0にしたものに等しい、なぜなら、\(f' \circ \phi'' (U''_p \cap U'''_p)\)上の、\(n_1 + 1\) ~ \(n\)コンポーネントたちの内の1つが0でない任意のポイントは、\(f' \circ \phi'' (U''_p \cap U'''_p \cap M_1)\)上になく、\(f' \circ \phi'' (U''_p \cap U'''_p)\)上の、全\(n_1 + 1\) ~ \(n\)コンポーネントたちが0である任意のポイントは、\(f' \circ \phi'' (U''_p \cap U'''_p \cap M_1)\)上にあるから。したがって、\((U''_p \cap U'''_p \cap M_1, \pi \circ f' \circ \phi''|_{U''_p \cap U'''_p \cap M_1})\)はアダプテッドチャート\((U''_p \cap U'''_p, f' \circ \phi''|_{U''_p \cap U'''_p}\)のアダプティングチャートである、しかし、\(\pi \circ f' \circ \phi''|_{U''_p \cap U'''_p \cap M_1} = \phi|_{U''_p \cap U'''_p \cap M_1} = \phi|_{U_p \cap U''_p \cap M_1}\)であり、チャート\((U_p, \phi)\)はそれの拡張である。
