321: レギュラーサブマニフォールド（多様体）上のチャートはアダプティングチャートの拡張である|T.B.P.日本語版

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レギュラーサブマニフォールド（多様体）上のチャートはアダプティングチャートの拡張であることの記述/証明

話題

About: $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 記述
2: 証明

開始コンテキスト

読者は、 $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
読者は、レギュラーサブマニフォールド（多様体）の定義を知っている。
読者は、任意の $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）間マップ（写像）に対して、その、トポロジー上の意味におけるコンティヌアス（連続）性は、その、座標ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるコンティヌアス（連続）性と同等であるという命題を認めている。
読者は、ドメイン（領域）のインバリアンス（不変性）定理: 任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）上の任意のオープンセット（開集合）から任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）への任意のインジェクティブ（単射）コンティヌアス（連続）マップ（写像）は、オープンマップ（開写像）であるを認めている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意の $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）上の任意のチャートは、あるアダプティングチャートの拡張であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述

任意の

n

次元

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）Mおよび任意の

n_{1}

次元レギュラーサブマニフォールド（多様体）

M_{1} \subseteq M

に対して、任意のポイント

p \in M_{1}

周りの任意の

M_{1}

上チャート

(U_{p}, ϕ)

、ここで

U_{p} \subseteq M_{1}

、は、あるアダプティングチャート

(U_{p}^{'} \cap M_{1}, π \circ ϕ^{'} |_{U_{p}^{'} \cap M_{1}})

の拡張である、ここで

(U_{p}^{'}, ϕ^{'})

は対応するアダプテッドチャートであり、

U_{p}^{'} \subseteq M

および

π

は常に'0'である

n_{1} + 1

n

座標の除去である。

2: 証明

p

周りに、あるアダプティングチャート

(U_{p}^{″} \cap M_{1}, π \circ ϕ^{″} |_{U_{p}^{″} \cap M_{1}})

がある、ここで

(U_{p}^{″}, ϕ^{″})

は対応するアダプテッドチャートであり、

U_{p}^{″} \subseteq M

。

U_{p}

は当該サブスペース（部分空間）トポロジーでオープン（開）であるので、

U_{p} = U_{p}^{‴} \cap M_{1}

、ここで

U_{p}^{‴} \subseteq M

は

M

上でオープン（開）。したがって、

U_{p} \cap U_{p}^{″} \cap M_{1} = U_{p}^{‴} \cap M_{1} \cap U_{p}^{″} \cap M_{1} = U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴} \cap M_{1}

、そして

(U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴} \cap M_{1}, π \circ ϕ^{″} |_{U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴} \cap M_{1}})

は

(U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴}, ϕ^{″} |_{U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴}})

をアダプテッドチャートとするアダプティングチャートである。他方で、

(U_{p} \cap U_{p}^{″} \cap M_{1} = U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴} \cap M_{1}, ϕ |_{U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴} \cap M_{1}})

は

M_{1}

上のチャートである。

あるディフェオモーフィズム（微分同相写像）

f : π \circ ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴} \cap M_{1}) \to ϕ (U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴} \cap M_{1})

がある、なぜなら、それら2チャートたちは同じアトラス（座標近傍系）に属しているから、そして、以下を満たすあるインジェクティブ（単射）マップ（写像）

f^{'} : ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴}) \to R^{n}

を定義する、つまり、1 ~

n_{1}

コンポーネントたちは

f

によってマップされ、残りのコンポーネントたちはアイデンティカル（恒等）にマップされる。任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）間マップ（写像）に対して、その、トポロジー上の意味におけるコンティヌアス（連続）性は、その、座標ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるコンティヌアス（連続）性と同等であるという命題によって、

f^{'}

はコンティヌアス（連続）である、また、ドメイン（領域）のインバリアンス（不変性）定理: 任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）上の任意のオープンセット（開集合）から任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）への任意のインジェクティブ（単射）コンティヌアス（連続）マップ（写像）は、オープンマップ（開写像）であるによって、

f^{'}

はオープンマップ（開写像）である、したがって、

f^{'} (ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴}))

はオープン（開）である、そして、

f^{'} : ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴}) \to f^{'} (ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴}))

はホメオモーフィズム（位相同形写像）、実のところ、明らかに、ディフェオモーフィズム（微分同相写像）である。したがって、

(U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴}, f^{'} \circ ϕ^{″})

はチャートであり、

f^{'} \circ ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴} \cap M_{1})

は、

f^{'} \circ ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴})

の

n_{1} + 1

n

コンポーネントたちを0にしたものに等しい、なぜなら、

f^{'} \circ ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴})

上の、

n_{1} + 1

n

コンポーネントたちの内の1つが0でない任意のポイントは、

f^{'} \circ ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴} \cap M_{1})

上になく、

f^{'} \circ ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴})

上の、全

n_{1} + 1

n

コンポーネントたちが0である任意のポイントは、

f^{'} \circ ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴} \cap M_{1})

上にあるから。したがって、

(U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴} \cap M_{1}, π \circ f^{'} \circ ϕ^{″} |_{U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴} \cap M_{1}})

はアダプテッドチャート

(U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴}, f^{'} \circ ϕ^{″} |_{U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴}}

のアダプティングチャートである、しかし、

π \circ f^{'} \circ ϕ^{″} |_{U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴} \cap M_{1}} = ϕ |_{U_{p}^{″} \cap U_{p}^{‴} \cap M_{1}} = ϕ |_{U_{p} \cap U_{p}^{″} \cap M_{1}}

であり、チャート

(U_{p}, ϕ)

はそれの拡張である。

参考資料

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2022年7月24日日曜日