322: レギュラーサブマニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）はベースC^\inftyマニフォールド（多様体）の、特定のコディメンジョン（余次元）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である|T.B.P.日本語版

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レギュラーサブマニフォールド（多様体）上のチャートはアダプティングチャートの拡張であるレギュラーサブマニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）はベース

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）の、特定のコディメンジョン（余次元）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であることの記述/証明

話題

About: $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）

開始コンテキスト

読者は、 $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
読者は、レギュラーサブマニフォールド（多様体）の定義を知っている。
読者は、任意の $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）上の任意のチャートは、あるアダプティングチャートの拡張であるという命題を認めている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意の $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）は、ベースマニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、そのコディメンジョン（余次元）はサブマニフォールド（多様体）のコディメンジョン（余次元）プラス孫サブマニフォールド（多様体）の子サブマニフォールド（多様体）に対するコディメンジョン（余次元）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述

任意の

n

次元

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）

M

、

M

の任意の

n_{1}

次元レギュラーサブマニフォールド（多様体）

M_{1} \subseteq M

、

M_{1}

の任意の

n_{2}

次元レギュラーサブマニフォールド（多様体）

M_{2} \subseteq M_{1}

に対して、

M_{2}

は

M

のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、コディメンジョン（余次元）は

(n - n_{1}) + (n_{1} - n_{2}) = n - n_{2}

である。

2: 証明

M_{2}

は

M_{1}

のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるので、任意のポイント

p \in M_{2}

の周りに

M_{1}

上のアダプテッドチャート

(U_{p}^{'}, ϕ^{'})

がある、ここで

U_{p}^{'} \subseteq M_{1}

で、

(U_{p}^{'} \cap M_{2}, ϕ^{'} |_{U_{p}^{'} \cap M_{2}})

は

M_{2}

上のアダプティングチャート。

任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）上の任意のチャートは、あるアダプティングチャートの拡張であるという命題によって、

(U_{p}^{'}, ϕ^{'})

はアダプティングチャート

(U_{p}^{″} \cap M_{1}, ϕ^{″} |_{U_{p}^{″} \cap M_{1}})

の拡張である、ここで

U_{p}^{″} \subseteq M

。

ϕ^{″} (U_{p}^{″})

の、

n_{1} + 1

n

コンポーネントたちを0にしたものは

ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap M_{1})

に等しい、しかし、

(U_{p}^{″} \cap M_{1}, ϕ^{″} |_{U_{p}^{″} \cap M_{1}})

は

(U_{p}^{'}, ϕ^{'})

の限定なので、

ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap M_{1} \cap M_{2})

は

ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap M_{1})

の、

n_{2} + 1

n_{1}

コンポーネントたちを0にしたものに等しい、しかし、

ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap M_{1})

は

ϕ^{″} (U_{p}^{″})

の、

n_{1} + 1

n

コンポーネントたちを0にしたものに等しいので、

ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap M_{1} \cap M_{2})

は

ϕ^{″} (U_{p}^{″})

の、

n_{2} + 1

n_{1}, n_{1} + 1

n

コンポーネントたちを0にしたものに等しい、なぜなら、

n_{2} + 1

n

コンポーネントたちの1つが0でない任意の

p^{'} \in ϕ^{″} (U_{p}^{″})

は

ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap M_{1} \cap M_{2})

上になく、全

n_{2} + 1

n

コンポーネントたちが0である任意の

p^{'} \in ϕ^{″} (U_{p}^{″})

は

ϕ^{″} (U_{p}^{″} \cap M_{1} \cap M_{2})

上にあるから。

任意の

p \in M_{2}

の周りにアダプティングチャート

(U_{p}^{″} \cap M_{2}, ϕ^{″} |_{U_{p}^{″} \cap M_{2}})

がある（

(U_{p}^{″}, ϕ^{″})

が対応する

M

上アダプテッドチャート）ので,

M_{2}

は

M

のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、そのコディメンジョン（余次元）は

n - n_{2} = (n - n_{1}) + (n_{1} - n_{2})