レギュラーサブマニフォールド（多様体）上のチャートはアダプティングチャートの拡張であるレギュラーサブマニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）はベース\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の、特定のコディメンジョン（余次元）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、レギュラーサブマニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）上の任意のチャートは、あるアダプティングチャートの拡張であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）は、ベースマニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、そのコディメンジョン（余次元）はサブマニフォールド（多様体）のコディメンジョン（余次元）プラス孫サブマニフォールド（多様体）の子サブマニフォールド（多様体）に対するコディメンジョン（余次元）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(n\)次元\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M\)、\(M\)の任意の\(n_1\)次元レギュラーサブマニフォールド（多様体）\(M_1 \subseteq M\)、\(M_1\)の任意の\(n_2\)次元レギュラーサブマニフォールド（多様体）\(M_2 \subseteq M_1\)に対して、\(M_2\)は\(M\)のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、コディメンジョン（余次元）は\((n - n_1) + (n_1 - n_2) = n - n_2\)である。
2: 証明
\(M_2\)は\(M_1\)のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるので、任意のポイント\(p \in M_2\)の周りに\(M_1\)上のアダプテッドチャート\((U'_p, \phi')\)がある、ここで\(U'_p \subseteq M_1\)で、\((U'_p \cap M_2, \phi'|_{U'_p \cap M_2})\)は\(M_2\)上のアダプティングチャート。
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）上の任意のチャートは、あるアダプティングチャートの拡張であるという命題によって、\((U'_p, \phi')\)はアダプティングチャート\((U''_p \cap M_1, \phi''|_{U''_p \cap M_1})\)の拡張である、ここで\(U''_p \subseteq M\)。
\(\phi''(U''_p)\)の、\(n_1 + 1\) ~ \(n\)コンポーネントたちを0にしたものは\(\phi'' (U''_p \cap M_1)\)に等しい、しかし、\((U''_p \cap M_1, \phi''|_{U''_p \cap M_1})\)は\((U'_p, \phi')\)の限定なので、\(\phi'' (U''_p \cap M_1 \cap M_2)\)は\(\phi'' (U''_p \cap M_1)\)の、\(n_2 + 1\) ~ \(n_1\)コンポーネントたちを0にしたものに等しい、しかし、\(\phi'' (U''_p \cap M_1)\)は\(\phi''(U''_p)\)の、\(n_1 + 1\) ~ \(n\)コンポーネントたちを0にしたものに等しいので、\(\phi'' (U''_p \cap M_1 \cap M_2)\)は\(\phi'' (U''_p)\)の、\(n_2 + 1\) ~ \(n_1, n_1 + 1\) ~ \(n\)コンポーネントたちを0にしたものに等しい、なぜなら、\(n_2 + 1\) ~ \(n\)コンポーネントたちの1つが0でない任意の\(p' \in \phi'' (U''_p)\)は\(\phi'' (U''_p \cap M_1 \cap M_2)\)上になく、全\(n_2 + 1\) ~ \(n\)コンポーネントたちが0である任意の\(p' \in \phi'' (U''_p)\)は\(\phi'' (U''_p \cap M_1 \cap M_2)\)上にあるから。
任意の\(p \in M_2\)の周りにアダプティングチャート\((U''_p \cap M_2, \phi''|_{U''_p \cap M_2})\)がある（\((U''_p, \phi'')\)が対応する\(M\)上アダプテッドチャート）ので, \(M_2\)は\(M\)のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、そのコディメンジョン（余次元）は\(n - n_2 = (n - n_1) + (n_1 - n_2)\)である。
