\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の2つのトランスバーサル（横断）レギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）は特定コディメンジョン（余次元）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、レギュラーサブマニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、トランスバーサル（横断）レギュラーサブマニフォールド（多様体）たちの定義を知っている。
- 読者は、トランスバーサリティ（横断性）定理: 任意のトランスバーサル（横断）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）上の当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）のプリイメージ（前像）はレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、コディメンジョン（余次元）はコドメイン（余域）上当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）のコディメンジョン（余次元）であるを認めている。
- 読者は、任意のC^\inftyマニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）は、ベースマニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、そのコディメンジョン（余次元）はサブマニフォールド（多様体）のコディメンジョン（余次元）プラス孫サブマニフォールド（多様体）の子サブマニフォールド（多様体）に対するコディメンジョン（余次元）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意の2つのトランスバーサル（横断）レギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）はそれらレギュラーサブマニフォールド（多様体）たちのコディメンジョン（余次元）たちの和をコディメンジョン（余次元）とするレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）Mおよび任意のトランスバーサル（横断）レギュラーサブマニフォールド（多様体）たち\(M_1, M_2 \subseteq M\)に対して、それらトランスバーサル（横断）レギュラーサブマニフォールド（多様体）たち\(M_1 \cap M_2\)のインターセクション（共通集合）は\(M\)のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、そのコディメンジョン（余次元）は\(M_1\)および\(M_2\)のコディメンジョン（余次元）たちの和である。
2: 証明
インクルージョン（封入）マップ（写像）\(i: M_1 \rightarrow M\)を考えるが、それは\(C^\infty\)である、なぜなら、\(M_1\)はアダプティングチャートたちを持ち、\(i\)は、任意のアダプティングチャートと対応するアダプテッドチャートに関して明らかに\(C^\infty\)であるから。\(i\)は\(M_1\)から\(M_2\)へのトランスバーサル（横断）マップ（写像）である、なぜなら、各\(p \in i^{-1} (M_2)\)に対して、\(i_* (T_pM_1) + i'_* (T_{i (p)}M_2) = T_{i (p)}M\)、ここで\(i'\)はインクルージョン（封入）マップ（写像）\(i': M_2 \rightarrow M\)、なぜなら、\(i\)はインクルージョン（封入）なので、\(i (p) = p\)、したがって、その等式は\(i_* (T_pM_1) + i'_* (T_pM_2) = T_pM\)に等しいが、それは、\(M_1\)と\(M_2\)のトランスバーサリティ（横断性）の定義そのものである（定義は汎く"\(T_pM_1 + T_pM_2 = T_pM\)"のように表現されているが、それは本当はずさんな表現である、なぜなら、任意の\(T_pM_1\)上ベクトルは任意の\(T_pM_2\)ベクトルに足されることはできない、なぜなら、それらは別々のスペース（空間）の上にあるから。それらのベクトルたちを足すことができるのは、同一の\(T_pM\)スペース（空間）へプッシュフォワードされたからである）。トランスバーサリティ（横断性）定理: 任意のトランスバーサル（横断）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）上の当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）のプリイメージ（前像）はレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、コディメンジョン（余次元）はコドメイン（余域）上当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）のコディメンジョン（余次元）であるによって、\(i^{-1} (M_2) = M_1 \cap M_2\)は\(M_1\)のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、そのコディメンジョン（余次元）は\(M_2\)のコディメンジョン（余次元）（\(M\)に対する）（\(codim (M_2, M)\)と記す）である。任意のC^\inftyマニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）は、ベースマニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、そのコディメンジョン（余次元）はサブマニフォールド（多様体）のコディメンジョン（余次元）プラス孫サブマニフォールド（多様体）の子サブマニフォールド（多様体）に対するコディメンジョン（余次元）であるという命題によって、\(M_1 \cap M_2\)は\(M\)のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、そのコディメンジョン（余次元）は\(codim (M1, M) + codim (M2, M)\)である。
