323: C^\inftyマニフォールド（多様体）の2つのトランスバーサル（横断）レギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）は特定コディメンジョン（余次元）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の2つのトランスバーサル（横断）レギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）は特定コディメンジョン（余次元）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、レギュラーサブマニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、トランスバーサル（横断）レギュラーサブマニフォールド（多様体）たちの定義を知っている。
• 読者は、トランスバーサリティ（横断性）定理: 任意のトランスバーサル（横断）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）上の当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）のプリイメージ（前像）はレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、コディメンジョン（余次元）はコドメイン（余域）上当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）のコディメンジョン（余次元）であるを認めている。
• 読者は、任意のC^\inftyマニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）は、ベースマニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、そのコディメンジョン（余次元）はサブマニフォールド（多様体）のコディメンジョン（余次元）プラス孫サブマニフォールド（多様体）の子サブマニフォールド（多様体）に対するコディメンジョン（余次元）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意の2つのトランスバーサル（横断）レギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）はそれらレギュラーサブマニフォールド（多様体）たちのコディメンジョン（余次元）たちの和をコディメンジョン（余次元）とするレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）Mおよび任意のトランスバーサル（横断）レギュラーサブマニフォールド（多様体）たち$M_1,M_2\subseteq M$に対して、それらトランスバーサル（横断）レギュラーサブマニフォールド（多様体）たち$M_1\cap M_2$のインターセクション（共通集合）は$M$のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、そのコディメンジョン（余次元）は$M_1$および$M_2$のコディメンジョン（余次元）たちの和である。

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2: 証明

インクルージョン（封入）マップ（写像）$i:M_1\to M$を考えるが、それは$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、$M_1$はアダプティングチャートたちを持ち、$i$は、任意のアダプティングチャートと対応するアダプテッドチャートに関して明らかに$C^{\mathrm{\infty }}$であるから。$i$は$M_1$から$M_2$へのトランスバーサル（横断）マップ（写像）である、なぜなら、各$p\in i^{-1}(M_2)$に対して、$i_{\ast }(T_p{M}_1)+i_{\ast }^{\prime }(T_{i(p)}{M}_2)=T_{i(p)}M$、ここで$i^{\prime }$はインクルージョン（封入）マップ（写像）$i^{\prime }:M_2\to M$、なぜなら、$i$はインクルージョン（封入）なので、$i(p)=p$、したがって、その等式は$i_{\ast }(T_p{M}_1)+i_{\ast }^{\prime }(T_p{M}_2)=T_{p}M$に等しいが、それは、$M_1$と$M_2$のトランスバーサリティ（横断性）の定義そのものである（定義は汎く"$T_p{M}_1+T_p{M}_2=T_{p}M$"のように表現されているが、それは本当はずさんな表現である、なぜなら、任意の$T_p{M}_1$上ベクトルは任意の$T_p{M}_2$ベクトルに足されることはできない、なぜなら、それらは別々のスペース（空間）の上にあるから。それらのベクトルたちを足すことができるのは、同一の$T_{p}M$スペース（空間）へプッシュフォワードされたからである）。トランスバーサリティ（横断性）定理: 任意のトランスバーサル（横断）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）上の当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）のプリイメージ（前像）はレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、コディメンジョン（余次元）はコドメイン（余域）上当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）のコディメンジョン（余次元）であるによって、$i^{-1}(M_2)=M_1\cap M_2$は$M_1$のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、そのコディメンジョン（余次元）は$M_2$のコディメンジョン（余次元）（$M$に対する）（$codim(M_2,M)$と記す）である。任意のC^\inftyマニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）の任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）は、ベースマニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、そのコディメンジョン（余次元）はサブマニフォールド（多様体）のコディメンジョン（余次元）プラス孫サブマニフォールド（多様体）の子サブマニフォールド（多様体）に対するコディメンジョン（余次元）であるという命題によって、$M_1\cap M_2$は$M$のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であり、そのコディメンジョン（余次元）は$codim(M1,M)+codim(M2,M)$である。

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参考資料

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