324: オープン（開）サブトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーストポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）である場合、そしてその場合に限って

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オープン（開）サブトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーストポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のサブトポロジカルスペース（空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$および$T$上でオープン（開）である任意のサブトポロジカルスペース（空間）$T_s$に対して、$T_s$の任意のサブセット（部分空間）$S\subseteq T_s$は$T_s$上でオープン（開）である、もしも、$S$が$T$上でオープン（開）である場合、そしてその場合に限って

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2: 証明

$S$は$T$上でオープン（開）であると仮定する。$S=S\cap T_s$、したがって、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、$S$は$T_s$上でオープン（開）である。

$S$は$T_s$上でオープン（開）であると仮定する。$S=U\cap T_s$、ここで$U$は$T$上のオープンセット（開集合）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。$T_s$は$T$上でオープン（開）であるから、$S$は$T$上でオープン（開）である、$T$上の2つのオープンセット（開集合）のインターセクション（共通集合）として。

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3: 注

本命題のためには、$T_s$は$T$上でオープン（開）でなければならない、上記証明の後半部がそれを要求するから。$T_s$が$T$上でオープン（開）でない場合については、別の命題を参照。

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参考資料

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