2022年7月17日日曜日

318: サブセット(部分集合)たちのコンプリメント(補集合)たちのインターセクション(共通集合)はサブセット(部分集合)たちのユニオン(和集合)のコンプリメント(補集合)である

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サブセット(部分集合)たちのコンプリメント(補集合)たちのインターセクション(共通集合)はサブセット(部分集合)たちのユニオン(和集合)のコンプリメント(補集合)であることの記述/証明

話題


About: セット(集合)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のセット(集合)にたいして、任意の、アンカウンタブル(不可算)であるかもしれない数のサブセット(部分集合)たち、のコンプリメント(補集合)たちのインターセクション(共通集合)は、それらサブセット(部分集合)たちのユニオン(和集合)のコンプリメント(補集合)であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。


本体


1: 記述


任意のセット(集合)Sに対して、任意の、アンカウンタブル(不可算)かもしれない数のサブセット(部分集合)たちのコンプリメント(補集合)たちのインターセクション(共通集合)\(\cap_\alpha (S \setminus S_\alpha)\)、ここで\(S_\alpha \subseteq S\)、ここで\({\alpha}\)は任意のアンカウンタブル(不可算)かもしれないインデックスセット(集合)、は、それらサブセット(部分集合)たちのユニオン(和集合)のコンプリメント(補集合)\(S \setminus \cup_\alpha S_\alpha\)である。


2: 証明


任意の要素\(p \in \cap_\alpha (S \setminus S_\alpha)\)に対して、各\(\alpha\)に対して\(p \in S \setminus S_\alpha\)、ということは、各\(\alpha\)に対して\(p \notin S_\alpha\)、したがって、\(p \notin \cup_\alpha S_\alpha\)、したがって、\(p \in S \setminus \cup_\alpha S_\alpha\)。

任意の要素\(p \in S \setminus \cup_\alpha S_\alpha\)に対して、\(p \notin \cup_\alpha S_\alpha\)、したがって、各\(\alpha\)に対して\(p \notin S_\alpha\)、したがって、各\(\alpha\)に対して\(p \in S \setminus S_\alpha\)、したがって、\(p \in \cap_\alpha (S \setminus S_\alpha)\)。


参考資料


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