サブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）はサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）Sに対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）な数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）\(\cup_\alpha (S \setminus S_\alpha)\)、ここで\(S_\alpha \subseteq S\)、ここで\({\alpha}\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）\(S \setminus \cap_\alpha S_\alpha\)である。
2: 証明
任意の要素\(p \in \cup_\alpha (S \setminus S_\alpha)\)に対して、ある\(\alpha\)に対して\(p \in S \setminus S_\alpha\)、したがって、ある\(\alpha\)に対して\(p \notin S_\alpha\)、したがって、\(p \notin \cap_\alpha S_\alpha\)、したがって、\(p \in S \setminus \cap_\alpha S_\alpha\)。
任意の要素\(p \in S \setminus \cap_\alpha S_\alpha\)に対して、\(p \notin \cap_\alpha S_\alpha\)、したがって、ある\(\alpha\)に対して\(p \notin S_\alpha\)、したがって、ある\(\alpha\)に対して\(p \in S \setminus S_\alpha\)、したがって、\(p \in \cup_\alpha (S \setminus S_\alpha)\)。
