106: 必ずしもオープン（開）でないトポロジカルサブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）上でオープン（開）である場合

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必ずしもオープン（開）でないトポロジカルサブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）上でオープン（開）である場合、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペースおよび当該ベーススペース上の必ずしもオープン（開）でないトポロジカルサブスペースに対して、当該サブスペースの任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）上でオープン（開）である場合、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペースたち }\}$
$T$: $\subseteq T^{\prime }$でサブスペーストポロジーを持つもの
$S$: $\subseteq T$
//

ステートメント（言明）たち:
$S\in \{T^{\prime }\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$
$⟹$
$S\in \{T\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のトポロジカルスペース$T^{\prime }$、$T^{\prime }$上の必ずしもオープン（開）でない任意のトポロジカルサブスペース$T$に対して、任意のサブセット$S\subseteq T$は$T$上でオープン（開）である、もしも、$S$が$T^{\prime }$上でオープン（開）である場合。

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3: 証明

$S$は$T^{\prime }$上でオープン（開）であると仮定しよう。

$S=S\cap T$、したがって、サブスペーストポロジーの定義によって、$S$は$T$上でオープン（開）である。

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4: 注

本命題の逆は成立しない、$S$は$T$上でオープン（開）であると仮定して、$S=U\cap T$、ここで、$U\subseteq T^{\prime }$は$T^{\prime }$上のオープンサブセット（開部分集合）である、サブスペーストポロジーの定義によって、しかし、$T$は必ずしも$T^{\prime }$上でオープン（開）でないので、$U\cap T$は必ずしも$T^{\prime }$上でオープン（開）でない。

私たちは別の命題を証明したが、それは実は本命題によってカバーされている。

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参考資料

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