非オープン（開）サブトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーストポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）である場合であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）でない任意のサブトポロジカルスペース（空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）上でオープン（開）である場合という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)および\(T\)上でオープン（開）でない任意のサブトポロジカルスペース（空間）\(T_s\)に対して、\(T_s\)の任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T_s\)は\(T_s\)上でオープン（開）である、もしも、\(S\)が\(T\)上でオープン（開）である場合。
2: 証明
\(S\)は\(T\)上でオープン（開）であると仮定する。\(S = S \cap T_s\)、したがって、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、\(S\)は\(T_s\)上でオープン（開）である。
3: 注
本命題の逆は成立しない、なぜなら、\(S\)が\(T_s\)上でオープン（開）だと仮定して、\(S = U \cap T_s\)、ここで\(U\)は\(T\)上のオープンセット（開集合）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、しかし、\(T_s\)は\(T\)上でオープン（開）でないから、\(U \cap T_s\)は必ずしも\(T\)上でオープン（開）でない。\(T_s\)が\(T\)上でオープン（開）である場合については、別の命題を参照。
