必ずしもオープン（開）でないトポロジカルサブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）上でオープン（開）である場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペースおよび当該ベーススペース上の必ずしもオープン（開）でないトポロジカルサブスペースに対して、当該サブスペースの任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）上でオープン（開）である場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペースたち }\}\)
\(T\): \(\subseteq T'\)でサブスペーストポロジーを持つもの
\(S\): \(\subseteq T\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{T' \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(\implies\)
\(S \in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のトポロジカルスペース\(T'\)、\(T'\)上の必ずしもオープン（開）でない任意のトポロジカルサブスペース\(T\)に対して、任意のサブセット\(S \subseteq T\)は\(T\)上でオープン（開）である、もしも、\(S\)が\(T'\)上でオープン（開）である場合。
3: 証明
\(S\)は\(T'\)上でオープン（開）であると仮定しよう。
\(S = S \cap T\)、したがって、サブスペーストポロジーの定義によって、\(S\)は\(T\)上でオープン（開）である。
4: 注
本命題の逆は成立しない、\(S\)は\(T\)上でオープン（開）であると仮定して、\(S = U \cap T\)、ここで、\(U \subseteq T'\)は\(T'\)上のオープンサブセット（開部分集合）である、サブスペーストポロジーの定義によって、しかし、\(T\)は必ずしも\(T'\)上でオープン（開）でないので、\(U \cap T\)は必ずしも\(T'\)上でオープン（開）でない。
私たちは別の命題を証明したが、それは実は本命題によってカバーされている。
