111: プリイメージ（前像）の後のマップ（写像）コンポジション（合成）は引数セット（集合）内に包含されている

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プリイメージ（前像）の後のマップ（写像）コンポジション（合成）は引数セット（集合）内に包含されていることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）の定義の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のプリイメージ（前像）の後のそのマップ（写像）によるコンポジション（合成）は引数セット（集合）の中に包含されているという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2$、任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$、任意のサブセット（部分集合）$S_3\subseteq S_2$に対して、$f\circ f^{-1}(S_3)\subseteq S_3$。

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2: 証明

任意の$p\in f\circ f^{-1}(S_3)$に対して、あるポイント$p^{\prime }\in S_3$に対して、$p=f\circ f^{-1}(p^{\prime })$、しかし、$p=f\circ f^{-1}(p^{\prime })=p^{\prime }$、したがって、$p\in S_3$。

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3: 注

必ずしも$f\circ f^{-1}(S_3)=S_3$（それについては別の命題がある）ではない。

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参考資料

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