プリイメージ（前像）の後のマップ（写像）合成は引数セット（集合）内に含まれていることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のプリイメージ（前像）の後のそのマップ（写像）による合成は引数セット（集合）の中に含まれているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2\)、任意のマップ（写像）\(f: S_1 \rightarrow S_2\)、任意のサブセット（部分集合）\(S_3 \subseteq S_2\)に対して、\(f \circ f^{-1} (S_3) \subseteq S_3\)。
2: 証明
任意の\(p \in f \circ f^{-1} (S_3)\)に対して、あるポイント\(p' \in S_3\)に対して、\(p = f \circ f^{-1} (p')\)、しかし、\(p = f \circ f^{-1} (p') = p'\)、したがって、\(p \in S_3\)。
3: 注
必ずしも\(f \circ f^{-1} (S_3) = S_3\)（それについては別の命題がある）ではない。
