331: サブセット（部分集合）のマップ（写像）イメージ（像）はサブセット（部分集合）の中に含まれている、もしも、サブセット（部分集合）がサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）内に含まれている場合、そしてその場合に限って

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サブセット（部分集合）のマップ（写像）イメージ（像）はサブセット（部分集合）の中に含まれている、もしも、サブセット（部分集合）がサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）内に含まれている場合、そしてその場合に限ってであることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）
About: マップ（写像）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）の定義の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）のイメージ（像）は任意のサブセット（部分集合）内に含まれている、もしも、前者サブセット（部分集合）が後者サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）内に含まれている場合、そしてその場合に限ってであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2$、任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$、任意のサブセット（部分集合）たち$S_3\in S_1,S_4\in S_2$に対して、$f(S_3)\subseteq S_4$、もしも、$S_3\subseteq f^{-1}(S_4)$である場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

$S_3\subseteq f^{-1}(S_4)$と仮定する。$f(S_3)\subseteq f(f^{-1}(S_4))\subseteq S_4$、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のプリイメージ（前像）の後のそのマップ（写像）による合成は引数セット（集合）の中に含まれているという命題によって。

$f(S_3)\subseteq S_4$と仮定する。任意の$p\in S_3$に対して、$f(p)\in f(S_3)\subseteq S_4$、したがって、$p\in f^{-1}(S_4)$、任意の集合間マップ（写像）に対して、任意のポイントのイメージ（像）は任意のサブセット（部分集合）上にある、もしも、そのポイントがそのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）上にある場合、そしてその場合に限ってという命題によって、したがって、$S_3\subseteq f^{-1}(S_4)$。

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参考資料

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