329: ポイントはサブセット（部分集合）のマップ（写像）イメージ（像）上にある、もしも、ポイントのプリイメージ（前像）がサブセット（部分集合）内に含まれている場合、しかし、その場合に限ってではない

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ポイントはサブセット（部分集合）のマップ（写像）イメージ（像）上にある、もしも、ポイントのプリイメージ（前像）がサブセット（部分集合）内に含まれている場合、しかし、その場合に限ってではないことの記述/証明

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話題

About: セット（集合）
About: マップ（写像）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）の定義の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のポイントは任意のサブセット（部分集合）のイメージ（像）上にある、もしも、そのポイントのプリイメージ（前像）がそのサブセット（部分集合）に含まれている場合、しかし、その場合に限ってではないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2$、任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$、任意のポイント$p\in S_2$、任意のサブセット（部分集合）$S_3\subseteq S_1$に対して、$p\in f(S_3)$、もしも、$f^{-1}(p)\subseteq S_3$である場合、しかし、その場合に限ってではない

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2: 証明

$f^{-1}(p)\subseteq S_3$と仮定する。$f(f^{-1}(p))=\{p\}\subseteq f(S_3)$、したがって、$p\in f(S_3)$。

$p\in f(S_3)$と仮定する。もしも、$f$がインジェクティブ（単射）でなければ、$f^{-1}(p)$上に複数のポイントがあるかもしれず、その内の1つは$S_3$上にないかもしれない。

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3: 注

逆を想定しないように気をつけなければならない、任意の集合間マップ（写像）に対して、任意のポイントのイメージ（像）は任意のサブセット（部分集合）上にある、もしも、そのポイントがそのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）上にある場合、そしてその場合に限ってという別の命題と混同することによって。

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参考資料

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