339: リーグループ（群）上で同一ベクトルを代表するカーブたちのC^\infty右アクションとしてのマニフォールド（多様体）上のカーブたちは同一ベクトルを代表する

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リーグループ（群）上で同一ベクトルを代表するカーブたちの$C^{\mathrm{\infty }}$右アクションとしてのマニフォールド（多様体）上のカーブたちは同一ベクトルを代表することの記述/証明

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話題

About: マニフォールド（多様体）
About: リーグループ（群）
About: リーグループ（群）のマニフォールド（多様体）への右アクション

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、リーグループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、リーグループ（群）の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）への$C^{\mathrm{\infty }}$右アクションの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリーグループ（群）上で同一ベクトルを代表するカーブたちの$C^{\mathrm{\infty }}$右アクションとしての、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上の任意のカーブたちは同一ベクトルを代表するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M$、に、任意のリーグループ（群）$G$の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$右アクション$\mu :M\times G\to M$が付いたもの、$G$上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブたち$c_1(t)$および$c_2(t)$で$G$上で同一のタンジェントベクトルを代表するものに対して、$M$上の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブたち$m{c}_1(t)$ および$m{c}_2(t)$、ここで$m\in M$、は$M$上の同一タンジェントベクトルを代表する。

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2: 証明

$m{c}_i(t)$は実際$C^{\mathrm{\infty }}$カーブである、なぜなら、それは$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）たちの合成だから、$c_i(t)$は$C^{\mathrm{\infty }}$であり、$\mu$は$C^{\mathrm{\infty }}$、mを固定して。

$G$上の$c_1(0)=c_2(0)$周りの任意のチャートに対して、${\frac{d{c}_1^j(t)}{dt}|}_{t=0}={\frac{d{c}_2^j(t)}{dt}|}_{t=0}$、ここで$c_i^j$はその$G$チャートによる$c_i$の$j$コンポーネント。

$M$上の$m{c}_1(0)=m{c}_2(0)$周りの任意のチャートに対して、${\frac{d(m{c}_i{)}^j}{dt}|}_{t=0}={\frac{d{\mu }^j(m,c_i)}{dt}|}_{t=0}={\left(\frac{\partial {\mu }^j}{\partial c_i^k}\frac{d{c}_i^k}{dt}\right)|}_{t=0}$、ここで$(m{c}_i{)}^j={\mu }^j(m,c_i)$はその$M$チャートによる$m{c}_i$の$j$コンポーネント。$\frac{\partial {\mu }^j}{\partial c_i^k}$はコーディネイト（座標）ファンクション（関数）の問題であり、$c_1(0)=c_2(0)$なので、${\frac{\partial {\mu }^j}{\partial c_1^k}|}_{t=0}={\frac{\partial {\mu }^j}{\partial c_2^k}|}_{t=0}$。

${\frac{d{c}_1^j(t)}{dt}|}_{t=0}={\frac{d{c}_2^j(t)}{dt}|}_{t=0}$でもあるので、${\frac{d(m{c}_1{)}^j}{dt}|}_{t=0}={\frac{d(m{c}_2{)}^j}{dt}|}_{t=0}$。

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参考資料

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