338: 有限次元ベクトルスペース（空間）からのリニアマップ（線形写像）に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）があって、それは、イメージ（像）へ'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である

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有限次元ベクトルスペース（空間）からのリニアマップ（線形写像）に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）があって、それは、イメージ（像）へ'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルスペース（空間）
About: マップ（写像）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ベクトルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意の有限次元ベクトルスペース（空間）から任意の同一次元ベクトルスペース（空間）への任意のリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意の有限次元ベクトルスペース（空間）の任意のリニア（線形）マップ（写像）下のイメージ（像）はベクトルスペース（空間）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の有限次元ベクトルスペース（空間）からの任意のリニアマップ（線形写像）に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）があって、それは、そのマップ（写像）のイメージ（像）へ'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の有限次元ベクトルスペース（空間）$V_1$、任意のベクトルスペース（空間）$V_2$、任意のリニアマップ（線形写像）$f:V_1\to V_2$に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）があって、それは、マップ（写像）イメージ（像）$f(V_1)$へ'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である。

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2: 証明

任意の有限次元ベクトルスペース（空間）の任意のリニア（線形）マップ（写像）下のイメージ（像）はベクトルスペース（空間）であるという命題によって、$f(V_1)$はベクトルスペース（空間）である。その命題の証明に示されているとおり、$V_1$の任意のベーシス（基底）のあるサブセット（部分集合）$b_1,b_2,...,b_r$があって、そのスペース（空間）は$f(V_1)$へサージェクティブにマップする。同ドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）は次元数が$f(V_1)$と同じなので、任意の有限次元ベクトルスペース（空間）から任意の同一次元ベクトルスペース（空間）への任意のリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、同ドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）から$f(V_1)$へのリニア（線形）サージェクション（全射）（fの同ドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）への制限）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

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参考資料

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