有限次元ベクトルスペース（空間）からのリニアマップ（線形写像）に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）があって、それは、イメージ（像）へ'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルスペース（空間）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意の有限次元ベクトルスペース（空間）から任意の同一次元ベクトルスペース（空間）への任意のリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の有限次元ベクトルスペース（空間）の任意のリニア（線形）マップ（写像）下のイメージ（像）はベクトルスペース（空間）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の有限次元ベクトルスペース（空間）からの任意のリニアマップ（線形写像）に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）があって、それは、そのマップ（写像）のイメージ（像）へ'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の有限次元ベクトルスペース（空間）\(V_1\)、任意のベクトルスペース（空間）\(V_2\)、任意のリニアマップ（線形写像）\(f: V_1 \rightarrow V_2\)に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）があって、それは、マップ（写像）イメージ（像）\(f (V_1)\)へ'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である。
2: 証明
任意の有限次元ベクトルスペース（空間）の任意のリニア（線形）マップ（写像）下のイメージ（像）はベクトルスペース（空間）であるという命題によって、\(f (V_1)\)はベクトルスペース（空間）である。その命題の証明に示されているとおり、\(V_1\)の任意のベーシス（基底）のあるサブセット（部分集合）\(b_1, b_2, . . ., b_r\)があって、そのスペース（空間）は\(f (V_1)\)へサージェクティブにマップする。同ドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）は次元数が\(f (V_1)\)と同じなので、任意の有限次元ベクトルスペース（空間）から任意の同一次元ベクトルスペース（空間）への任意のリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、同ドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）から\(f (V_1)\)へのリニア（線形）サージェクション（全射）（fの同ドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）への制限）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
