334: ティーチェ拡張定理の逆

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ティーチェ拡張定理の逆の記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）
About: マップ（写像）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）間の任意のマップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、あるクローズドカバー（閉被覆）の中の各クローズドセット（閉集合）へのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合という命題を認めている。
• 読者は、任意のディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ティーチェ拡張定理の逆: 任意のトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である、もしも、任意のクローズドセット（閉集合）から$\mathbb{R}$への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）がトポロジカルスペース（空間）全体へのコンティヌアス（連続）な拡張を持つ場合、の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$に対して、もしも、任意のクローズドセット（閉集合）から$\mathbb{R}$への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）$f:C\to \mathbb{R}$が、あるコンティヌアス（連続）な拡張$\bar{f}:T\to \mathbb{R}\mathrm{を}\mathrm{も}\mathrm{つ}\mathrm{場}\mathrm{合}、\bar{f}{|}_C=f$, $T$はノーマル（正規）である。

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2: 証明

任意のクローズドセット（閉集合）から$\mathbb{R}$への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）$f:C\to \mathbb{R}$が、あるコンティヌアス（連続）な拡張$\bar{f}:T\to \mathbb{R}$を持っていると仮定する。任意のディスジョイント（互いに素な）クローズドセット（閉集合）$C_1,C_2\subseteq T,C_1\cap C_2=\mathrm{\varnothing }$を考える。あるコンティヌアス（連続）なマップ（写像）$f:C_1\cup C_2\to \mathbb{R}$を以下を満たすように考える、つまり、任意の$p\in C_1$に対して、$f(p)=-1$; 任意の$p\in C_2$に対して、$f(p)=1$。$f$はコンティヌアス（連続）である、なぜなら、$\{C_1,C_2\}$は$C_1\cup C_2$のクローズド（閉）カバーであり、$f{|}_{C_1}$および$f{|}_{C_2}$はコンティヌアス（連続）であり、トポロジカルスペース（空間）間の任意のマップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、あるクローズドカバー（閉被覆）の中の各クローズドセット（閉集合）へのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合という命題による。あるコンティヌアス（連続）な拡張$\bar{f}$がある。$U_1:={\bar{f}}^{-1}((-\mathrm{\infty },0))$および(U_2 := {\overline{f}}^{-1} ( (0, \infty))\)を定義するが、それらはオープン（開）である、オープンセット（開集合）のコンティヌアス（連続）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）として。$U_1$および$U_2$はディスジョイント（互いに素）である、任意のディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題によって。$C_1\subseteq U_1$および$C_2\subseteq U_2$。したがって、$U_1$および$U_2$は、$C_1$および$C_2$のディスジョイント（互いに素）なネイバーフッド（近傍）たちである。$C_1$および$C_2$は恣意的だから、任意の2つのディスジョイント（互いに素）なクローズドセット（閉集合）たちは、ディスジョイント（互いに素）なネイバーフッド（近傍）たちを持つが、それは、ノーマル（正規）であることの定義である。

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参考資料

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