ティーチェ拡張定理の逆の記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）間の任意のマップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、あるクローズドカバー（閉被覆）の中の各クローズドセット（閉集合）へのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合という命題を認めている。
- 読者は、任意のディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ティーチェ拡張定理の逆: 任意のトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である、もしも、任意のクローズドセット（閉集合）から\(\mathbb{R}\)への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）がトポロジカルスペース（空間）全体へのコンティヌアス（連続）な拡張を持つ場合、の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、もしも、任意のクローズドセット（閉集合）から\(\mathbb{R}\)への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）\(f: C \rightarrow \mathbb{R}\)が、あるコンティヌアス（連続）な拡張\(\overline{f}: T \rightarrow \mathbb{R}をもつ場合、\overline{f}|_{C} = f\), \(T\)はノーマル（正規）である。
2: 証明
任意のクローズドセット（閉集合）から\(\mathbb{R}\)への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）\(f: C \rightarrow \mathbb{R}\)が、あるコンティヌアス（連続）な拡張\(\overline{f}: T \rightarrow \mathbb{R}\)を持っていると仮定する。任意のディスジョイント（互いに素な）クローズドセット（閉集合）\(C_1, C_2 \subseteq T, C_1 \cap C_2 = \emptyset\)を考える。あるコンティヌアス（連続）なマップ（写像）\(f: C_1 \cup C_2 \rightarrow \mathbb{R}\)を以下を満たすように考える、つまり、任意の\(p \in C_1\)に対して、\(f (p) = -1\); 任意の\(p \in C_2\)に対して、\(f (p) = 1\)。\(f\)はコンティヌアス（連続）である、なぜなら、\(\{C_1, C_2\}\)は\(C_1 \cup C_2\)のクローズド（閉）カバーであり、\(f|_{C_1}\)および\(f|_{C_2}\)はコンティヌアス（連続）であり、トポロジカルスペース（空間）間の任意のマップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、あるクローズドカバー（閉被覆）の中の各クローズドセット（閉集合）へのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合という命題による。あるコンティヌアス（連続）な拡張\(\overline{f}\)がある。\(U_1 := {\overline{f}}^{-1} ( (-\infty, 0))\)および(U_2 := {\overline{f}}^{-1} ( (0, \infty))\)を定義するが、それらはオープン（開）である、オープンセット（開集合）のコンティヌアス（連続）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）として。\(U_1\)および\(U_2\)はディスジョイント（互いに素）である、任意のディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題によって。\(C_1 \subseteq U_1\)および\(C_2 \subseteq U_2\)。したがって、\(U_1\)および\(U_2\)は、\(C_1\)および\(C_2\)のディスジョイント（互いに素）なネイバーフッド（近傍）たちである。\(C_1\)および\(C_2\)は恣意的だから、任意の2つのディスジョイント（互いに素）なクローズドセット（閉集合）たちは、ディスジョイント（互いに素）なネイバーフッド（近傍）たちを持つが、それは、ノーマル（正規）であることの定義である。
