アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）はオープンである、もしも、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）のプロジェクション（射影）たちが条件を満たしてオープンである場合、そしてその場合に限ってという命題の記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）およびその任意のサブスペース（部分空間）に対して、当該サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、当該サブセット（部分集合）の当該クウォシェント（商）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）の、アタッチング元スペース（空間）およびアタッチング先スペース（空間）へのプロジェクション（射影）たちが、サブスペース（部分空間）の当該クウォシェント（商）マップ（写像）下プリイメージ（前像）のプロジェクション（射影）たち上でオープン（開）であり、条件: [アタッチング元スペース（空間）プロジェクション（射影）がアタッチング先スペース（空間）プロジェクション（射影）と、アタッチングマップ（射影）に関して調和している]を満たしている場合、そしてその場合に限ってという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T_1\)、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）\(f: S \rightarrow T_2\)、アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）\(T_2 \cup_f T_1\)、ここで、\(f_2: T_1 \rightarrow T_1 + T_2\)および\(f_3: T_2 \rightarrow T_1 + T_2\)はインクルージョン（封入）たちで\(f_4: T_1 + T_2 \rightarrow T_2 \cup_f T_1\)はクウォシェント（商）マップ（写像）、任意のサブスペース（部分空間）\(T_3 \subseteq T_2 \cup_f T_1\)に対して、任意のサブセット（部分集合）\(S' \subseteq T_3\)はオープン（開）である、もしも、\({f_4}^{-1} (S') \cap T_1\)が\(T_1\)のサブスペース（部分空間）\({T_1}' = {f_4}^{-1} (T_3) \cap T_1\)上でオープン（開）であり（あるオープンセット（開集合）\(U' \subseteq T_1\)があって、\({f_4}^{-1} (S') \cap T_1 = U' \cap {T_1}'\)）、\({f_4}^{-1} (S') \cap T_2\)が\(T_2\)のサブスペース（部分空間）\({T_2}' = {f_4}^{-1} (T_3) \cap T_2\)上でオープン（開）であり（あるオープンセット（開集合）\(U'' \subseteq T_2\)があって、\({f_4}^{-1} (S') \cap T_2 = U'' \cap {T_2}'\)）、条件: [\(U' \cap S = f^{-1} (U'' \cap f (S))\)]が満たされている場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\({f_4}^{-1} (S') \cap T_1\)は\({T_1}'\)上でオープン（開）であり、\({f_4}^{-1} (S') \cap T_2\)は\({T_2}'\)上でオープン（開）であり、指定された条件を満たしていると仮定する。\(U''' := f_4 (f_2 (U') \cup f_3 (U''))\)を考える。指定された条件、\(U' \cap S = f^{-1} (U'' \cap f (S))\)は、以下を満たす任意の\([p] \in U'''\)、つまり、\(p \in f (S), [p] = f^{-1} (p) \cup \{p\}\) に対して、\(f^{-1} (p) \cup \{p\} \subseteq f_2 (U' \cap S) \cup f_3 (U'' \cap f (S))\)を意味する、なぜなら、以下を満たすある\(p' \in f_2 (U' \cap S) \cup f_3 (U'' \cap f (S))\)、つまり、\(f_4 (p') = [p]\)、があり、それは、\(p' \in f_2 (U' \cap S)\)かつ\(f (p') = p\)または\(p' \in f_3 (U'' \cap f (S))\)かつ\(p' = p\)を意味する; 前者の場合、\(p' \in U' \cap S = f^{-1} (U'' \cap f (S))\)、\(f (p') = p \in f (f^{-1} (U'' \cap f (S))) \subseteq U'' \cap f (S)\)、プリイメージ（前像）の後のマップ（写像）合成は引数セット（集合）内に含まれているによって; 後者の場合、\(p = p' \in U'' \cap f (S)\); 任意の\(p'' \in f^{-1} (p) \cup \{p\}\)に対して、\(p'' \in f^{-1} (p)\)または\(p'' = p\); 前者の場合、\(p'' \in U' \cap S = f_2 (U' \cap S)\)、指定条件によって; 後者の場合、\(p'' \in U'' \cap f (S) = f_3 (U'' \cap f (S))\)。
\(U'''\)の\(T_2 \cup_f T_1\)上でのオープン（開）性は、\({f_4}^{-1} (U''') \cap T_1\)の\(T_1\)上でのオープン（開）性かつ\({f_4}^{-1} (U''') \cap T_2\)の\(T_2\)上でのオープン（開）性そのものである。\({f_4}^{-1} (U''') = f_2 (U') \cup f_3 (U'')\)、なぜなら、\(f_2 (U') \cup f_3 (U'') \subseteq {f_4}^{-1} (U''')\)は真である、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）は、そのサブセット（部分集合）のイメージ（像）のプリイメージに包含されているという命題によって、また、\({f_4}^{-1} (U''') \subseteq f_2 (U') \cup f_3 (U'')\)も成り立つ、なぜなら、任意の\(p\ \in {f_4}^{-1} (U''')\)に対して、もしも、\(p \in T_1 \setminus S\)または\(p \in T_2 \setminus f (S)\)であれば、\(f_4 (p) = [p] = \{p\} \in U'''\)、そして、以下を満たすある\(p' \in f_2 (U') \cup f_3 (U'')\)がある、つまり、\(f_4 (p') = [p]\)、それは、\(p' = p\)だけが満たす、したがって、\(p \in f_2 (U') \cup f_3 (U'')\); もしも、\(p \in S\)または\(p \in f (S)\)であれば、\(f_4 (p) = [p'] \in U'''\)、ここで\(p' \in f (S), [p'] = f^{-1} (p') \cup \{p'\}\)、したがって、前パラグラフ内の主張によって、\(p \in f^{-1} (p') \cup \{p'\} \subseteq f_2 (U' \cap S) \cup f_3 (U'' \cap f (S)))\)。したがって、\({f_4}^{-1} (U''') \cap T_1 = f_2 (U')\)、\(T_1\)上でオープン（開）、および\({f_4}^{-1} (U''') \cap T_2 = f_3 (U'')\)、\(T_2\)上でオープン（開）。したがって、\(U'''\)は\(T_2 \cup_f T_1\)上でオープン（開）である。
\(S' = U''' \cap T_3\)、なぜなら、任意の\([p] \in S'\)に対して、もしも、\(p \in T_1\)であれば、\(p \in {f_4}^{-1} (S') \cap T_1 = U' \cap {T_1}' \subseteq U'\)、したがって、\(f_4 (f_2 (p)) = [p] \in U''' = f_4 (f_2 (U') \cup f_3 (U''))\); もしも、\(p \in T_2\)であれば、\(p \in {f_4}^{-1} (S') \cap T_2 = U'' \cap {T_2}' \subseteq U''\)、したがって、\(f_4 (f_3 (p)) = [p] \in U''' = f_4 (f_2 (U') \cup f_3 (U''))\); 勿論、\([p] \in T_3\); 任意の\([p] \in U''' \cap T_3\)に対して、もしも、\(p \in T_1\)であれば、\(p \in ({f_4}^{-1} (U''') \cap T_1) \cap ({f_4}^{-1} (T_3) \cap T_1) = f_2 (U') \cap {T_1}' = U' \cap {T_1}' = {f_4}^{-1} (S') \cap T_1\)、したがって、\([p] = f_4 (p) \in S'\); もしも、\(p \in T_2\)であれば、\(p \in ({f_4}^{-1} (U''') \cap T_2) \cap ({f_4}^{-1} (T_3) \cap T_2) = f_3 (U'') \cap {T_2}' = U'' \cap {T_2}' = {f_4}^{-1} (S') \cap T_2\)、したがって、\([p] = f_4 (p) \in S'\)。
したがって、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、\(S'\)はオープン（開）である。
\(S'\)はオープン（開）であると仮定する。サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、以下を満たすあるオープンセット（開集合）\(U''' \subseteq T_2 \cup_f T_1\)がある、つまり、\(S' = U''' \cap T_3\)。
\(U': = {f_4}^{-1} (U''') \cap T_1\)および\(U'': = {f_4}^{-1} (U''') \cap T_2\)を定義するが、両者ともオープン（開）である、クウォシェント（商）トポロジーの定義およびトポロジカルサム（和）の定義によって。それらは指定条件\(U' \cap S = f^{-1} (U'' \cap f (S))\)を満たす、なぜなら、任意の\(p \in U' \cap S\)に対して、\(f_4 (p) = [f (p)] \in U'''\)、\({f_4}^{-1} ([f (p)]) \cap T_2 = \{f (p)\} \subseteq U''\)、したがって、\(f (p) \in U''\)、したがって、\(p \in f^{-1} (U'') = f^{-1} (U'' \cap f (S))\); 任意の\(p \in f^{-1} (U'' \cap f (S))\)に対して、\(f (p) \in U'' \cap f (S)\)、\(f_4 (f (p)) = [p] \in U'''\)、したがって、\(p \in {f_4}^{-1} ([p]) \subseteq {f_4}^{-1} (U''') \cap T_1 = U'\)、しかし、\(p \in S\)だから、\(p \in U' \cap S\)。
\({f_4}^{-1} (S') \cap T_1 = U' \cap {T_1}'\)、なぜなら、任意の\(p \in {f_4}^{-1} (S') \cap T_1\)に対して、\(f_4 (p) = [p] \in S' \subseteq U'''\)、したがって、\(p \in {f_4}^{-1} (U''')\)、しかし、\(p \in T_1\)なので、\(p \in {f_4}^{-1} (U''') \cap T_1 = U'\)、そして勿論、\(p \in {T_1}'\); 任意の\(p \in U' \cap {T_1}'\)に対して、\(f_4 (p) \in f_4 (U' \cap {T_1}') \subseteq f_4 (U') \cap f_4 ({T_1}') \subseteq U''' \cap T_3 = S'\)、\(p \in {f_4}^{-1} (S') \cap T_1\)。\({f_4}^{-1} (S') \cap T_2 = U'' \cap {T_2}'\)、なぜなら、任意の\(p \in {f_4}^{-1} (S') \cap T_2\)に対して、\(f_4 (p) = [p] \in S' \subseteq U'''\); \(p \in {f_4}^{-1} (U''') \cap T_2 = U''\); 勿論、\(p \in {T_2}'\); 任意の\(p \in U'' \cap {T_2}'\)に対して、\(f_4 (p) \in f_4 (U'' \cap {T_2}') \subseteq f_4 (U'') \cap f_4 ({T_2}') \subseteq U''' \cap T_3 = S'\)、\(p \in {f_4}^{-1} (S') \cap T_2\)。
\(U''' = f_4 (f_2 (U') \cup f_3 (U''))\)、なぜなら、任意の\([p] \in U'''\)に対して、\(p \in {f_4}^{-1} ([p]) \cap T_1 \subseteq U'\)または\(p \in {f_4}^{-1} ([p]) \cap T_2 \subseteq U''\)、したがって、\([p] \in f_4 (f_2 (U') \cup f_3 (U''))\); 任意の\([p] \in f_4 (f_2 (U') \cup f_3 (U''))\)に対して、\([p] \in f_4 (f_2 (U'))\)または\([p] \in f_4 (f_3 (U''))\)、したがって、以下を満たすある\(p \in U'\)がある、つまり、\(f_4 (f_2 (p)) = [p]\)、または、以下を満たすある\(p \in U''\)がある、つまり、\(f_4 (f_3 (p)) = [p]\)、したがって、\([p] \in U'''\)。
3: 注
要点は、\({f_4}^{-1} (S') \cap T_1\)の\({T_1}'\)上でのオープン（開）性かつ\({f_4}^{-1} (S') \cap T_2\)の\({T_2}'\)上でのオープン（開）性だけでは\(S'\)のオープン（開）性は保証されない、なぜなら、\(T_2 \cup_f T_1\)上の\(U'''\)が求められているのだから。
