333: アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）はオープンである、もしも、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）のプロジェクション（射影）たちが条件を満たしてオープンである場合、そしてその場合に限って|T.B.P.日本語版

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アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）はオープンである、もしも、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）のプロジェクション（射影）たちが条件を満たしてオープンである場合、そしてその場合に限ってという命題の記述/証明

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

開始コンテキスト

読者は、トポロジカルスペース（空間）をコンティヌアス（連続）マップ（写像）を介してトポロジカルスペース（空間）へアタッチして得られるアジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
読者は、プリイメージ（前像）の後のマップ（写像）合成は引数セット（集合）内に含まれているを認めている。
読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）は、そのサブセット（部分集合）のイメージ（像）のプリイメージに包含されているという命題を認めている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のアジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）およびその任意のサブスペース（部分空間）に対して、当該サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、当該サブセット（部分集合）の当該クウォシェント（商）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）の、アタッチング元スペース（空間）およびアタッチング先スペース（空間）へのプロジェクション（射影）たちが、サブスペース（部分空間）の当該クウォシェント（商）マップ（写像）下プリイメージ（前像）のプロジェクション（射影）たち上でオープン（開）であり、条件: [アタッチング元スペース（空間）プロジェクション（射影）がアタッチング先スペース（空間）プロジェクション（射影）と、アタッチングマップ（射影）に関して調和している]を満たしている場合、そしてその場合に限ってという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち

T_{1}, T_{2}

、任意のサブセット（部分集合）

S \subseteq T_{1}

、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）

f : S \to T_{2}

、アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）

T_{2} \cup_{f} T_{1}

、ここで、

f_{2} : T_{1} \to T_{1} + T_{2}

および

f_{3} : T_{2} \to T_{1} + T_{2}

はインクルージョン（封入）たちで

f_{4} : T_{1} + T_{2} \to T_{2} \cup_{f} T_{1}

はクウォシェント（商）マップ（写像）、任意のサブスペース（部分空間）

T_{3} \subseteq T_{2} \cup_{f} T_{1}

に対して、任意のサブセット（部分集合）

S^{'} \subseteq T_{3}

はオープン（開）である、もしも、

{f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{1}

が

T_{1}

のサブスペース（部分空間）

{T_{1}}^{'} = {f_{4}}^{- 1} (T_{3}) \cap T_{1}

上でオープン（開）であり（あるオープンセット（開集合）

U^{'} \subseteq T_{1}

があって、

{f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{1} = U^{'} \cap {T_{1}}^{'}

）、

{f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{2}

が

T_{2}

のサブスペース（部分空間）

{T_{2}}^{'} = {f_{4}}^{- 1} (T_{3}) \cap T_{2}

上でオープン（開）であり（あるオープンセット（開集合）

U^{″} \subseteq T_{2}

があって、

{f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{2} = U^{″} \cap {T_{2}}^{'}

）、条件: [

U^{'} \cap S = f^{- 1} (U^{″} \cap f (S))

]が満たされている場合、そしてその場合に限って。

2: 証明

{f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{1}

は

{T_{1}}^{'}

上でオープン（開）であり、

{f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{2}

は

{T_{2}}^{'}

上でオープン（開）であり、指定された条件を満たしていると仮定する。

U^{‴} := f_{4} (f_{2} (U^{'}) \cup f_{3} (U^{″}))

を考える。指定された条件、

U^{'} \cap S = f^{- 1} (U^{″} \cap f (S))

は、以下を満たす任意の

[p] \in U^{‴}

、つまり、

p \in f (S), [p] = f^{- 1} (p) \cup {p}

　に対して、

f^{- 1} (p) \cup {p} \subseteq f_{2} (U^{'} \cap S) \cup f_{3} (U^{″} \cap f (S))

を意味する、なぜなら、以下を満たすある

p^{'} \in f_{2} (U^{'} \cap S) \cup f_{3} (U^{″} \cap f (S))

、つまり、

f_{4} (p^{'}) = [p]

、があり、それは、

p^{'} \in f_{2} (U^{'} \cap S)

かつ

f (p^{'}) = p

または

p^{'} \in f_{3} (U^{″} \cap f (S))

かつ

p^{'} = p

を意味する; 前者の場合、

p^{'} \in U^{'} \cap S = f^{- 1} (U^{″} \cap f (S))

、

f (p^{'}) = p \in f (f^{- 1} (U^{″} \cap f (S))) \subseteq U^{″} \cap f (S)

、プリイメージ（前像）の後のマップ（写像）合成は引数セット（集合）内に含まれているによって; 後者の場合、

p = p^{'} \in U^{″} \cap f (S)

; 任意の

p^{″} \in f^{- 1} (p) \cup {p}

に対して、

p^{″} \in f^{- 1} (p)

または

p^{″} = p

; 前者の場合、

p^{″} \in U^{'} \cap S = f_{2} (U^{'} \cap S)

、指定条件によって; 後者の場合、

p^{″} \in U^{″} \cap f (S) = f_{3} (U^{″} \cap f (S))

。

U^{‴}

の

T_{2} \cup_{f} T_{1}

上でのオープン（開）性は、

{f_{4}}^{- 1} (U^{‴}) \cap T_{1}

の

T_{1}

上でのオープン（開）性かつ

{f_{4}}^{- 1} (U^{‴}) \cap T_{2}

の

T_{2}

上でのオープン（開）性そのものである。

{f_{4}}^{- 1} (U^{‴}) = f_{2} (U^{'}) \cup f_{3} (U^{″})

、なぜなら、

f_{2} (U^{'}) \cup f_{3} (U^{″}) \subseteq {f_{4}}^{- 1} (U^{‴})

は真である、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）は、そのサブセット（部分集合）のイメージ（像）のプリイメージに包含されているという命題によって、また、

{f_{4}}^{- 1} (U^{‴}) \subseteq f_{2} (U^{'}) \cup f_{3} (U^{″})

も成り立つ、なぜなら、任意の

p \in {f_{4}}^{- 1} (U^{‴})

に対して、もしも、

p \in T_{1} ∖ S

または

p \in T_{2} ∖ f (S)

であれば、

f_{4} (p) = [p] = {p} \in U^{‴}

、そして、以下を満たすある

p^{'} \in f_{2} (U^{'}) \cup f_{3} (U^{″})

がある、つまり、

f_{4} (p^{'}) = [p]

、それは、

p^{'} = p

だけが満たす、したがって、

p \in f_{2} (U^{'}) \cup f_{3} (U^{″})

; もしも、

p \in S

または

p \in f (S)

であれば、

f_{4} (p) = [p^{'}] \in U^{‴}

、ここで

p^{'} \in f (S), [p^{'}] = f^{- 1} (p^{'}) \cup {p^{'}}

、したがって、前パラグラフ内の主張によって、

p \in f^{- 1} (p^{'}) \cup {p^{'}} \subseteq f_{2} (U^{'} \cap S) \cup f_{3} (U^{″} \cap f (S)))

。したがって、

{f_{4}}^{- 1} (U^{‴}) \cap T_{1} = f_{2} (U^{'})

、

T_{1}

上でオープン（開）、および

{f_{4}}^{- 1} (U^{‴}) \cap T_{2} = f_{3} (U^{″})

、

T_{2}

上でオープン（開）。したがって、

U^{‴}

は

T_{2} \cup_{f} T_{1}

上でオープン（開）である。

S^{'} = U^{‴} \cap T_{3}

、なぜなら、任意の

[p] \in S^{'}

に対して、もしも、

p \in T_{1}

であれば、

p \in {f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{1} = U^{'} \cap {T_{1}}^{'} \subseteq U^{'}

、したがって、

f_{4} (f_{2} (p)) = [p] \in U^{‴} = f_{4} (f_{2} (U^{'}) \cup f_{3} (U^{″}))

; もしも、

p \in T_{2}

であれば、

p \in {f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{2} = U^{″} \cap {T_{2}}^{'} \subseteq U^{″}

、したがって、

f_{4} (f_{3} (p)) = [p] \in U^{‴} = f_{4} (f_{2} (U^{'}) \cup f_{3} (U^{″}))

; 勿論、

[p] \in T_{3}

; 任意の

[p] \in U^{‴} \cap T_{3}

に対して、もしも、

p \in T_{1}

であれば、

p \in ({f_{4}}^{- 1} (U^{‴}) \cap T_{1}) \cap ({f_{4}}^{- 1} (T_{3}) \cap T_{1}) = f_{2} (U^{'}) \cap {T_{1}}^{'} = U^{'} \cap {T_{1}}^{'} = {f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{1}

、したがって、

[p] = f_{4} (p) \in S^{'}

; もしも、

p \in T_{2}

であれば、

p \in ({f_{4}}^{- 1} (U^{‴}) \cap T_{2}) \cap ({f_{4}}^{- 1} (T_{3}) \cap T_{2}) = f_{3} (U^{″}) \cap {T_{2}}^{'} = U^{″} \cap {T_{2}}^{'} = {f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{2}

、したがって、

[p] = f_{4} (p) \in S^{'}

。

したがって、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、

S^{'}

はオープン（開）である。

S^{'}

はオープン（開）であると仮定する。サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、以下を満たすあるオープンセット（開集合）

U^{‴} \subseteq T_{2} \cup_{f} T_{1}

がある、つまり、

S^{'} = U^{‴} \cap T_{3}

。

U^{'} := {f_{4}}^{- 1} (U^{‴}) \cap T_{1}

および

U^{″} := {f_{4}}^{- 1} (U^{‴}) \cap T_{2}

を定義するが、両者ともオープン（開）である、クウォシェント（商）トポロジーの定義およびトポロジカルサム（和）の定義によって。それらは指定条件

U^{'} \cap S = f^{- 1} (U^{″} \cap f (S))

を満たす、なぜなら、任意の

p \in U^{'} \cap S

に対して、

f_{4} (p) = [f (p)] \in U^{‴}

、

{f_{4}}^{- 1} ([f (p)]) \cap T_{2} = {f (p)} \subseteq U^{″}

、したがって、

f (p) \in U^{″}

、したがって、

p \in f^{- 1} (U^{″}) = f^{- 1} (U^{″} \cap f (S))

; 任意の

p \in f^{- 1} (U^{″} \cap f (S))

に対して、

f (p) \in U^{″} \cap f (S)

、

f_{4} (f (p)) = [p] \in U^{‴}

、したがって、

p \in {f_{4}}^{- 1} ([p]) \subseteq {f_{4}}^{- 1} (U^{‴}) \cap T_{1} = U^{'}

、しかし、

p \in S

だから、

p \in U^{'} \cap S

。

{f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{1} = U^{'} \cap {T_{1}}^{'}

、なぜなら、任意の

p \in {f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{1}

に対して、

f_{4} (p) = [p] \in S^{'} \subseteq U^{‴}

、したがって、

p \in {f_{4}}^{- 1} (U^{‴})

、しかし、

p \in T_{1}

なので、

p \in {f_{4}}^{- 1} (U^{‴}) \cap T_{1} = U^{'}

、そして勿論、

p \in {T_{1}}^{'}

; 任意の

p \in U^{'} \cap {T_{1}}^{'}

に対して、

f_{4} (p) \in f_{4} (U^{'} \cap {T_{1}}^{'}) \subseteq f_{4} (U^{'}) \cap f_{4} ({T_{1}}^{'}) \subseteq U^{‴} \cap T_{3} = S^{'}

、

p \in {f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{1}

。

{f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{2} = U^{″} \cap {T_{2}}^{'}

、なぜなら、任意の

p \in {f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{2}

に対して、

f_{4} (p) = [p] \in S^{'} \subseteq U^{‴}

;

p \in {f_{4}}^{- 1} (U^{‴}) \cap T_{2} = U^{″}

; 勿論、

p \in {T_{2}}^{'}

; 任意の

p \in U^{″} \cap {T_{2}}^{'}

に対して、

f_{4} (p) \in f_{4} (U^{″} \cap {T_{2}}^{'}) \subseteq f_{4} (U^{″}) \cap f_{4} ({T_{2}}^{'}) \subseteq U^{‴} \cap T_{3} = S^{'}

、

p \in {f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{2}

。

U^{‴} = f_{4} (f_{2} (U^{'}) \cup f_{3} (U^{″}))

、なぜなら、任意の

[p] \in U^{‴}

に対して、

p \in {f_{4}}^{- 1} ([p]) \cap T_{1} \subseteq U^{'}

または

p \in {f_{4}}^{- 1} ([p]) \cap T_{2} \subseteq U^{″}

、したがって、

[p] \in f_{4} (f_{2} (U^{'}) \cup f_{3} (U^{″}))

; 任意の

[p] \in f_{4} (f_{2} (U^{'}) \cup f_{3} (U^{″}))

に対して、

[p] \in f_{4} (f_{2} (U^{'}))

または

[p] \in f_{4} (f_{3} (U^{″}))

、したがって、以下を満たすある

p \in U^{'}

がある、つまり、

f_{4} (f_{2} (p)) = [p]

、または、以下を満たすある

p \in U^{″}

がある、つまり、

f_{4} (f_{3} (p)) = [p]

、したがって、

[p] \in U^{‴}

。

3: 注

要点は、

{f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{1}

の

{T_{1}}^{'}

上でのオープン（開）性かつ

{f_{4}}^{- 1} (S^{'}) \cap T_{2}

の

{T_{2}}^{'}

上でのオープン（開）性だけでは

S^{'}

のオープン（開）性は保証されない、なぜなら、

T_{2} \cup_{f} T_{1}

上の

U^{‴}

が求められているのだから。

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2022年8月14日日曜日

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2: 証明

3: 注

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