116: アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）についてのいくつかのプロパティたち、アタッチング元スペース（空間）へのサブセット（部分空間）からのインクルージョン（封入）がクローズド（閉）エンベディング（埋蔵）である時

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アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）についてのいくつかのプロパティたち、アタッチング元スペース（空間）へのサブセット（部分空間）からのインクルージョン（封入）がクローズド（閉）エンベディング（埋蔵）である時

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）をコンティヌアス（連続）マップ（写像）を介してトポロジカルスペース（空間）へアタッチして得られるアジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、エンベディング（埋蔵）の定義を知っている。
• 読者は、クローズド（閉）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のアジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）に対して、アタッチング先スペース（空間）からアジャンクション（付加）スペース（空間）へのカノニカルマップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）における任意のリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）上の任意のクローズド（閉）セット（集合）はベーストポロジカルスペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）およびその任意のドメイン（定義域）制限に対して、そのドメイン（定義域）制限マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限された定義域とのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）間の任意のマップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、ある有限クローズド（閉）カバーの各クローズドセット（閉集合）へのそのマップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合という命題を認めている。
• 読者は、ティーチェ拡張定理を認めている。
• 読者は、ティーチェ拡張定理の逆を認めている。
• 読者は、任意のアジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）およびその任意のサブスペース（部分空間）に対して、当該サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、当該サブセット（部分集合）の当該クウォシェント（商）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）の、アタッチング元スペース（空間）およびアタッチング先スペース（空間）へのプロジェクション（射影）たちが、サブスペース（部分空間）の当該クウォシェント（商）マップ（写像）下プリイメージ（前像）のプロジェクション（射影）たち上でオープン（開）であり、条件: [アタッチング元スペース（空間）プロジェクション（射影）がアタッチング先スペース（空間）プロジェクション（射影）と、アタッチングマップ（射影）に関して調和している]を満たしている場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のアジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）についてのいくつかのプロパティたち、アタッチング元スペース（空間）へのサブセット（部分空間）からのインクルージョン（封入）がクローズド（閉）エンベディング（埋蔵）である時、の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T_1$、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）$f:S\to T_2$、アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）$T_2{\cup }_f{T}_1$、$f_1:S\to T_1$、$f_2:T_1\to T_2{\cup }_f{T}_1$、$f_3:T_2\to T_2{\cup }_f{T}_1$、$f_4:T_1+T_2\to T_2{\cup }_f{T}_1$に対して、$f_1$がクローズド（閉）エンベディング（埋蔵）である時、以下のプロパティたちが成立する: 1) $f_3$はクローズド（閉）エンベディング（埋蔵）である; 2) $f_2{|}_{T_1\setminus S}:T_1\setminus S\to T_2{\cup }_f{T}_1$はオープン（開）エンベディング（埋蔵）である; 3) もしも、$T_1$および$T_2$が以下を満たすスペース（空間）たちである場合、つまり、3-1) 各1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、または3-2) $T_1$および$T_2$はノーマル（正規）である場合、$T_2{\cup }_f{T}_1$は3-1)または3-2)を満たす; 4) もしも、$f$がクウォシェント（商）マップ（写像）である場合、$f_2$はクウォシェント（商）マップ（写像）である。

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2: 証明

1)については、任意のアジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）に対して、アタッチング先スペース（空間）からアジャンクション（付加）スペース（空間）へのカノニカルマップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題によって、$f_3$はエンベディング（埋蔵）である。任意のクローズドセット（閉集合）$C\subseteq T_2$に対して、$C=C^{\prime }\cup C^{″}$、ここで$C^{\prime }=C\cap f(S)$で$C^{″}=C\setminus C^{\prime }$。$f_3(C)=f_3(C^{\prime })\cup f_3(C^{″})=\{[p]\in T_2{\cup }_f{T}_1|p\in C^{\prime },[p]=f^{-1}(p)\cup \{p\}\}\cup C^{″}$、ここで最後の$C^{″}$は勿論本当は厳密に$C^{″}$ではなく、同値クラスたちのセット（集合）であり、各同値クラスは、対応する$C^{″}$内単一ポイントからなる（つまり、$[p]=\{p\}$）ものであるが、そのように表記されている、なぜなら、別の表現を導入するのは表記を複雑化するように思われるから。注意として、類似の表現たちが以降も使用される。

$f_3(C)$はクローズド（閉）であるか？クウォシェント（商）トポロジーの定義によって、そのクローズド（閉）性は${f_4}^{-1}(f_3(C))$のクローズド（閉）性に他ならないが、後者のクローズド（閉）性は${f_4}^{-1}(f_3(C))\cap T_1$のクローズド（閉）性かつ${f_4}^{-1}(f_3(C))\cap T_2$のクローズド（閉）性に他ならない、トポロジカルサム（和）の定義によって。しかし、${f_4}^{-1}(f_3(C))={f_4}^{-1}(\{[p]\in T_2{\cup }_f{T}_1|p\in C^{\prime },[p]=f^{-1}(p)\cup \{p\}\})\cup {f_4}^{-1}(C^{″})=f^{-1}(C^{\prime })\cup C^{\prime }\cup C^{″}=f^{-1}(C)\cup C$、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。${f_4}^{-1}(f_3(C))\cap T_1=f^{-1}(C)$は$S$上でクローズド（閉）である、なぜなら、$f$はコンティヌアス（連続）; $f^{-1}(C)=f_1(f^{-1}(C))$は$T_1$上でクローズド（閉）である、なぜなら、$f_1$はクローズドであるから。${f_4}^{-1}(f_3(C))\cap T_2=C$はクローズド（閉）である。

2)については、$f_2$はコンティヌアス（連続）である、なぜなら、$f_2:T_1\to T_1+T_2\to T_2{\cup }_f{T}_1$はコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちの合成だから（前者はインクルージョン（封入）であり後者は$f_4$である）。the proposition that any restriction of any continuous map on the domain and the codomain is continuous">任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）における任意のリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、$f_2{|}_{T_1\setminus S}$はコンティヌアス（連続）である、そして明らかにインジェクティブ（単射）である。${f_2{|}_{T_1\setminus S}}^{\prime }:T_1\setminus S\to f_2{|}_{T_1\setminus S}(T_1\setminus S)$は明らかにコンティヌアス（連続）バイジェクション（全単射）である。任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T_1\setminus S$に対して、${f_2{|}_{T_1\setminus S}}^{\prime }(U)=U$、それは$f_2{|}_{T_1\setminus S}(T_1\setminus S)$上でオープン（開）である、もしも、以下を満たすあるオープンセット（開集合）$U^{\prime }\subseteq T_2{\cup }_f{T}_1$があれば、つまり、$U=U^{\prime }\cap f_2{|}_{T_1\setminus S}(T_1\setminus S)$、しかし、$U^{\prime }=U$でよい、なぜなら、$U$は$T_2{\cup }_f{T}_1$上でオープン（開）である、なぜなら、$U$のオープン（開）性は$f_4^{-1}(U)\cap T_1=U$のオープン（開）性かつ$f_4^{-1}(U)\cap T_2=\mathrm{\varnothing }$のオープン（開）性に他ならないが、それらは正である。したがって、${f_2{|}_{T_1\setminus S}}^{\prime }$はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、したがって、$f_2{|}_{T_1\setminus S}$はエンベディング（埋蔵）である。$f_2{|}_{T_1\setminus S}(U)=U$、それは$T_2{\cup }_f{T}_1$上でオープン（開）である、既に示されたとおり。したがって、当該マップ（写像）はオープン（開）エンベディング（埋蔵）である。

3-1)による3)については、$T_1$上および$T_2$上の各1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であると仮定する。$T_2{\cup }_f{T}_1$上の任意の1ポイントセット（集合）は$\{\{p\}\}$、ここで、$p\in T_1\setminus S$または$p\in T_2\setminus f(S)$、または$\{[p]\}$、ここで$p\in f(S)$で$[p]=f^{-1}(p)\cup \{p\}$。前者は明らかにクローズド（閉）。後者については、${f_4}^{-1}([p])=f^{-1}(p)\cup \{p\}$、したがって、${f_4}^{-1}([p])\cap T_1=f^{-1}(p)$は$S$上でクローズド（閉）である、$f$がコンティヌアス（連続）だから、しかし、$f_1$はクローズド（閉）だから、$S=f_1(S)$は$T_1$上でクローズド（閉）である、したがって、${f_4}^{-1}([p])\cap T_1$は$T_1$上でクローズド（閉）である、任意のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）上の任意のクローズド（閉）セット（集合）はベーストポロジカルスペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題によって。${f_4}^{-1}([p])\cap T_2=\{p\}$、クローズド（閉）。

3-2)による3)については、$T_1$および$T_2$はノーマル（正規）であると仮定する。ティーチェ拡張定理の逆によって、もしも、任意のクローズドセット（閉集合）$C\subseteq T_2{\cup }_f{T}_1$および任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）$g:C\to \mathbb{R}$に対して、あるコンティヌアス（連続）拡張$\bar{g}:T_2{\cup }_f{T}_1\to \mathbb{R},\bar{g}{|}_C=g$があれば、$T_2{\cup }_f{T}_1$はノーマル（正規）だということになる。

$S$$T_1$上でクローズド（閉）である、なぜなら、$S=f_1(S)$および$f_1$はクローズド（閉）で、$S$は$S$上でクローズド（閉）だから。${f_2}^{-1}(C)={f_4}^{-1}(C)\cap T_1$および${f_3}^{-1}(C)={f_4}^{-1}(C)\cap T_2$はクローズド（閉）である、クウォシェント（商）トポロジカルスペース（空間）の定義およびトポロジカルサム（和）の定義によって。

最初は、${f_3}^{-1}(C)=T_2$だと仮定する、それは、$S\subseteq {f_2}^{-1}(C)$を意味する。$h:{f_2}^{-1}(C)\to C,h=f_2{|}_{{f_2}^{-1}(C)}$はコンティヌアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）における任意のリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。$g\circ h:{f_2}^{-1}(C)\to \mathbb{R}$はコンティヌアス（連続）である、コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちの合成として。$T_1$はノーマル（正規）であるから、ティーチェ拡張定理によって、あるコンティヌアス（連続）マップ（写像）$i:T_1\to \mathbb{R},i{|}_{{f_2}^{-1}(C)}=g\circ h$がある。$\bar{g}$を、$f_2(T_1)$上は$\bar{g}\circ f_2=i$によって、$f_3(T_2)$上は$\bar{g}\circ f_3=g\circ f_3$によって定義しよう、それは、正当な定義である、なぜなら、$f_2(T_1)$および$f_3(T_2)$は$T_2{\cup }_f{T}_1$をカバーする; 任意の$p\in T_1\setminus {f_2}^{-1}(C)$に対して、$\bar{g}\circ f_2(p)=\bar{g}([p])=i(p)$、しかし、$p\in T_1\setminus S$、$S\subseteq {f_2}^{-1}(C)$であるから、したがって、$\bar{g}(\{p\})=i(p)$、そして、任意の$p\in {f_2}^{-1}(C)$に対して、$\bar{g}\circ f_2(p)=\bar{g}([p])=i{|}_{{f_2}^{-1}(C)}(p)=g(h(p))=g([p])$; 任意の$p\in T_2$に対して、$\bar{g}\circ f_3(p)=\bar{g}([p])=g\circ f_3(p)=g([p])$; $\bar{g}$は$S$に対してと$f(S)$に対してで矛盾しない、なぜなら、そこではいずれにせよ$\bar{g}=g$。

$\bar{g}$はコンティヌアス（連続）であるか？それは、任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq \mathbb{R}$に対して、${\bar{g}}^{-1}(U)$がオープン（開）であるかという問題である。そのオープン（開）性は${f_4}^{-1}({\bar{g}}^{-1}(U))\cap T_1={f_2}^{-1}({\bar{g}}^{-1}(U))$のオープン（開）性かつ${f_4}^{-1}({\bar{g}}^{-1}(U))\cap T_2={f_3}^{-1}({\bar{g}}^{-1}(U))$のオープン（開）性に他ならない。前者はオープン（開）である、なぜなら、$\bar{g}\circ f_2=i$はコンティヌアス（連続）であるから。後者については、${f_3}^{-1}({\bar{g}}^{-1}(U))={f_3}^{-1}({\bar{g}}^{-1}(U)\cap C)$、なぜなら、$f_3$は仮定により$C$の中へいずれにせよマップするから、${f_3}^{-1}(C)=T_2$、しかし、$\bar{g}{|}_C=g$であるから、${\bar{g}}^{-1}(U)\cap C={\bar{g}{|}_C}^{-1}(U)=g^{-1}(U)$、任意のセット（集合）間マップ（写像）およびその任意のドメイン（定義域）制限に対して、そのドメイン（定義域）制限マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限された定義域とのインターセクション（共通集合）であるという命題によって。したがって、${f_3}^{-1}({\bar{g}}^{-1}(U))={f_3}^{-1}(g^{-1}(U))$、それはオープン（開）である、オープンセット（開集合）の、コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちの合成下のプリイメージ（前像）として。

さて、${f_3}^{-1}(C)\subset T_2$だと仮定する。$j:{f_3}^{-1}(C)\to C,j=f_3{|}_{{f_3}^{-1}(C)}$はコンティヌアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）における任意のリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。$g\circ j:{f_3}^{-1}(C)\to \mathbb{R}$はコンティヌアス（連続）である、コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちの合成として。$T_2$はノーマル（正規）であるので、ティーチェ拡張定理によって、あるコンティヌアス（連続）マップ（写像）$k:T_2\to \mathbb{R},k{|}_{{f_3}^{-1}(C)}=g\circ j$がある。$f_3(T_2)$はクローズド（閉）である、なぜなら、${f_4}^{-1}(f_3(T_2))\cap T_1=S$および${f_4}^{-1}(f_3(T_2))\cap T_2=T_2$は$T_1$上および$T_2$上でクローズド（閉）だから。$g^{\prime }:f_3(T_2)\cup C\to \mathbb{R}$を、$f_3(T_2)$上は$g^{\prime }\circ f_3=k$、$C$上は$g^{\prime }=g$によって。それは正当な定義である、なぜなら、$f_3(T_2)$と$C$で$f_3(T_2)\cup C$をカバーする; 任意の$p\in T_2$に対して、$g^{\prime }\circ f_3(p)=g^{\prime }([p])=k(p)$、しかし、$p\mapsto [p]$はインジェクティブ（単射）; $g^{\prime }$は$f_3(T_2)\cap C$上で矛盾しない、なぜなら、$k{|}_{{f_3}^{-1}(C)}=g\circ j$。

$g^{\prime }$はコンティヌアス（連続）であるか？$\{f_3(T_2),C\}$は$f_3(T_2)\cup C$の有限クローズド（閉）カバーであり、もしも、$g^{\prime }{|}_{f_3(T_2)}$および$g^{\prime }{|}_C$がコンティヌアス（連続）であれば、$g^{\prime }$はコンティヌアス（連続）だということになる、トポロジカルスペース（空間）間の任意のマップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、ある有限クローズド（閉）カバーの各クローズドセット（閉集合）へのそのマップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合という命題によって。後者はコンティヌアス（連続）である、それは$g$に等しいから。前者については、任意の$U\subseteq \mathbb{R}$に対して、${g^{\prime }{|}_{f_3(T_2)}}^{-1}(U)$は$f_3(T_2)$上でオープン（開）であるかという問題である（$T_2{\cup }_f{T}_1$上においてでないことに注意）。${f_4}^{-1}({g^{\prime }{|}_{f_3(T_2)}}^{-1}(U))\cap T_1=f^{-1}({f_3}^{-1}({g^{\prime }{|}_{f_3(T_2)}}^{-1}(U)))=f^{-1}(k^{-1}(U))$、$S$上でオープン（開）、なぜなら、$g^{\prime }{|}_{f_3(T_2)}\circ f_3=k$はコンティヌアス（連続）および$f$はコンティヌアス（連続）、それが意味するのは、以下を満たすオープンセット（開集合）$U^{\prime }\subseteq T_1$がある、つまり、$U^{\prime }\cap S={f_4}^{-1}({g^{\prime }{|}_{f_3(T_2)}}^{-1}(U))\cap T_1$。$S={f_4}^{-1}(f_3(T_2))\cap T_1$。${f_4}^{-1}({g^{\prime }{|}_{f_3(T_2)}}^{-1}(U))\cap T_2={f_3}^{-1}({g^{\prime }{|}_{f_3(T_2)}}^{-1}(U))=k^{-1}(U):=U^{″}$、$T_2$上でオープン（開）。$U^{\prime }\cap S=f^{-1}(U^{″})=f^{-1}(U^{″}\cap f(S))$。任意のアジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）およびその任意のサブスペース（部分空間）に対して、当該サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、当該サブセット（部分集合）の当該クウォシェント（商）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）の、アタッチング元スペース（空間）およびアタッチング先スペース（空間）へのプロジェクション（射影）たちが、サブスペース（部分空間）の当該クウォシェント（商）マップ（写像）下プリイメージ（前像）のプロジェクション（射影）たち上でオープン（開）であり、条件: [アタッチング元スペース（空間）プロジェクション（射影）がアタッチング先スペース（空間）プロジェクション（射影）と、アタッチングマップ（射影）に関して調和している]を満たしている場合、そしてその場合に限ってという命題によって、$U^{\prime }$および$U^{″}$はその必要条件たちを満たすので、${g^{\prime }{|}_{f_3(T_2)}}^{-1}(U)$は$f_3(T_2)$上でオープン（開）である。したがって、$g^{\prime }$はコンティヌアス（連続）である。

さて、${f_3}^{-1}(f_3(T_2)\cup C)=T_2$、$g$の代わりに$g^{\prime }$についての第1のケースである、したがって、あるコンティヌアス（連続）拡張$\overline{g^{\prime }}:T_2{\cup }_f{T}_1\to \mathbb{R}$があり、それは$g$のコンティヌアス（連続）拡張である。

したがって、ティーチェ拡張定理の逆によって、$T_2{\cup }_f{T}_1$はノーマル（正規）である。

4)については、$f$はクウォシェント（商）マップ（写像）だと仮定する。$f_2$はコンティヌアス（連続）サージェクション（全射）である。任意のサブセット（部分集合）$S^{\prime }\subseteq T_2{\cup }_f{T}_1$に対して、${f_2}^{-1}(S^{\prime })$はオープン（開）であると仮定する。$S^{\prime }$はオープン（開）であるか？そのオープン（開）性は${f_4}^{-1}(S^{\prime })\cap T_1$のオープン（開）性かつ${f_4}^{-1}(S^{\prime })\cap T_2$のオープン（開）性に他ならない。前者は${f_2}^{-1}(S^{\prime })$に他ならない、したがってオープン（開）。後者については、${f^{-1}(f_4}^{-1}(S^{\prime })\cap T_2)={f_2}^{-1}(S^{\prime })\cap S$、それは$S$サブスペース（部分空間）トポロジーでオープン（開）である、${f_2}^{-1}(S^{\prime })$は$T_1$上でオープン（開）である、したがって、$f$はクウォシェント（商）マップ（写像）だから、${f_4}^{-1}(S^{\prime })\cap T_2$はオープン（開）である。

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参考資料

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