アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）についてのいくつかのプロパティたち、アタッチング元スペース（空間）へのサブセット（部分空間）からのインクルージョン（封入）がクローズド（閉）エンベディング（埋蔵）である時
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）をコンティヌアス（連続）マップ（写像）を介してトポロジカルスペース（空間）へアタッチして得られるアジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、エンベディング（埋蔵）の定義を知っている。
- 読者は、クローズド（閉）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のアジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）に対して、アタッチング先スペース（空間）からアジャンクション（付加）スペース（空間）へのカノニカルマップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）における任意のリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）上の任意のクローズド（閉）セット（集合）はベーストポロジカルスペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）およびその任意のドメイン（定義域）制限に対して、そのドメイン（定義域）制限マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限された定義域とのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）間の任意のマップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、ある有限クローズド（閉）カバーの各クローズドセット（閉集合）へのそのマップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合という命題を認めている。
- 読者は、ティーチェ拡張定理を認めている。
- 読者は、ティーチェ拡張定理の逆を認めている。
- 読者は、任意のアジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）およびその任意のサブスペース（部分空間）に対して、当該サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、当該サブセット（部分集合）の当該クウォシェント（商）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）の、アタッチング元スペース（空間）およびアタッチング先スペース（空間）へのプロジェクション（射影）たちが、サブスペース（部分空間）の当該クウォシェント（商）マップ（写像）下プリイメージ（前像）のプロジェクション（射影）たち上でオープン（開）であり、条件: [アタッチング元スペース（空間）プロジェクション（射影）がアタッチング先スペース（空間）プロジェクション（射影）と、アタッチングマップ（射影）に関して調和している]を満たしている場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）についてのいくつかのプロパティたち、アタッチング元スペース（空間）へのサブセット（部分空間）からのインクルージョン（封入）がクローズド（閉）エンベディング（埋蔵）である時、の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T_1\)、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）\(f: S \rightarrow T_2\)、アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）\(T_2 \cup_f T_1\)、\(f_1: S \rightarrow T_1\)、\(f_2: T_1 \rightarrow T_2 \cup_f T_1\)、\(f_3: T_2 \rightarrow T_2 \cup_f T_1\)、\(f_4: T_1 + T_2 \rightarrow T_2 \cup_f T_1\)に対して、\(f_1\)がクローズド（閉）エンベディング（埋蔵）である時、以下のプロパティたちが成立する: 1) \(f_3\)はクローズド（閉）エンベディング（埋蔵）である; 2) \(f_2|_{T_1 \setminus S}: T_1 \setminus S \rightarrow T_2 \cup_f T_1\)はオープン（開）エンベディング（埋蔵）である; 3) もしも、\(T_1\)および\(T_2\)が以下を満たすスペース（空間）たちである場合、つまり、3-1) 各1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、または3-2) \(T_1\)および\(T_2\)はノーマル（正規）である場合、\(T_2 \cup_f T_1\)は3-1)または3-2)を満たす; 4) もしも、\(f\)がクウォシェント（商）マップ（写像）である場合、\(f_2\)はクウォシェント（商）マップ（写像）である。
2: 証明
1)については、任意のアジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）に対して、アタッチング先スペース（空間）からアジャンクション（付加）スペース（空間）へのカノニカルマップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題によって、\(f_3\)はエンベディング（埋蔵）である。任意のクローズドセット（閉集合）\(C \subseteq T_2\)に対して、\(C = C' \cup C''\)、ここで\(C' = C \cap f (S)\)で\(C'' = C \setminus C'\)。\(f_3 (C) = f_3 (C') \cup f_3 (C'') = \{[p] \in T_2 \cup_f T_1| p \in C', [p] = f^{-1} (p) \cup \{p\}\} \cup C''\)、ここで最後の\(C''\)は勿論本当は厳密に\(C''\)ではなく、同値クラスたちのセット（集合）であり、各同値クラスは、対応する\(C''\)内単一ポイントからなる（つまり、\([p] = \{p\}\)）ものであるが、そのように表記されている、なぜなら、別の表現を導入するのは表記を複雑化するように思われるから。注意として、類似の表現たちが以降も使用される。
\(f_3 (C)\)はクローズド（閉）であるか？クウォシェント（商）トポロジーの定義によって、そのクローズド（閉）性は\({f_4}^{-1} (f_3 (C))\)のクローズド（閉）性に他ならないが、後者のクローズド（閉）性は\({f_4}^{-1} (f_3 (C)) \cap T_1\)のクローズド（閉）性かつ\({f_4}^{-1} (f_3 (C)) \cap T_2\)のクローズド（閉）性に他ならない、トポロジカルサム（和）の定義によって。しかし、\({f_4}^{-1} (f_3 (C)) = {f_4}^{-1} (\{[p] \in T_2 \cup_f T_1| p \in C', [p] = f^{-1} (p) \cup \{p\}\}) \cup {f_4}^{-1} (C'') = f^{-1} (C') \cup C' \cup C'' = f^{-1} (C) \cup C\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。\({f_4}^{-1} (f_3 (C)) \cap T_1 = f^{-1} (C)\)は\(S\)上でクローズド（閉）である、なぜなら、\(f\)はコンティヌアス（連続）; \(f^{-1} (C) = f_1 (f^{-1} (C))\)は\(T_1\)上でクローズド（閉）である、なぜなら、\(f_1\)はクローズドであるから。\({f_4}^{-1} (f_3 (C)) \cap T_2 = C\)はクローズド（閉）である。
2)については、\(f_2\)はコンティヌアス（連続）である、なぜなら、\(f_2: T_1 \rightarrow T_1 + T_2 \rightarrow T_2 \cup_f T_1\)はコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちの合成だから（前者はインクルージョン（封入）であり後者は\(f_4\)である）。the proposition that any restriction of any continuous map on the domain and the codomain is continuous">任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）における任意のリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、\(f_2|_{T_1 \setminus S}\)はコンティヌアス（連続）である、そして明らかにインジェクティブ（単射）である。\({f_2|_{T_1 \setminus S}}': T_1 \setminus S \rightarrow f_2|_{T_1 \setminus S} (T_1 \setminus S)\)は明らかにコンティヌアス（連続）バイジェクション（全単射）である。任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T_1 \setminus S\)に対して、\({f_2|_{T_1 \setminus S}}' (U) = U\)、それは\(f_2|_{T_1 \setminus S} (T_1 \setminus S)\)上でオープン（開）である、もしも、以下を満たすあるオープンセット（開集合）\(U' \subseteq T_2 \cup_f T_1\)があれば、つまり、\(U = U' \cap f_2|_{T_1 \setminus S} (T_1 \setminus S)\)、しかし、\(U' = U\)でよい、なぜなら、\(U\)は\(T_2 \cup_f T_1\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(U\)のオープン（開）性は\(f_4^{-1} (U) \cap T_1 = U\)のオープン（開）性かつ\(f_4^{-1} (U) \cap T_2 = \emptyset\)のオープン（開）性に他ならないが、それらは正である。したがって、\({f_2|_{T_1 \setminus S}}'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、したがって、\(f_2|_{T_1 \setminus S}\)はエンベディング（埋蔵）である。\(f_2|_{T_1 \setminus S} (U) = U\)、それは\(T_2 \cup_f T_1\)上でオープン（開）である、既に示されたとおり。したがって、当該マップ（写像）はオープン（開）エンベディング（埋蔵）である。
3-1)による3)については、\(T_1\)上および\(T_2\)上の各1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であると仮定する。\(T_2 \cup_f T_1\)上の任意の1ポイントセット（集合）は\(\{\{p\}\}\)、ここで、\(p \in T_1 \setminus S\)または\(p \in T_2 \setminus f (S)\)、または\(\{[p]\}\)、ここで\(p \in f (S)\)で\([p] = f^{-1} (p) \cup \{p\}\)。前者は明らかにクローズド（閉）。後者については、\({f_4}^{-1} ([p]) = f^{-1} (p) \cup \{p\}\)、したがって、\({f_4}^{-1} ([p]) \cap T_1 = f^{-1} (p)\)は\(S\)上でクローズド（閉）である、\(f\)がコンティヌアス（連続）だから、しかし、\(f_1\)はクローズド（閉）だから、\(S = f_1 (S)\)は\(T_1\)上でクローズド（閉）である、したがって、\({f_4}^{-1} ([p]) \cap T_1\)は\(T_1\)上でクローズド（閉）である、任意のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）上の任意のクローズド（閉）セット（集合）はベーストポロジカルスペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題によって。\({f_4}^{-1} ([p]) \cap T_2 = \{p\}\)、クローズド（閉）。
3-2)による3)については、\(T_1\)および\(T_2\)はノーマル（正規）であると仮定する。ティーチェ拡張定理の逆によって、もしも、任意のクローズドセット（閉集合）\(C \subseteq T_2 \cup_f T_1\)および任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）\(g: C \rightarrow \mathbb{R}\)に対して、あるコンティヌアス（連続）拡張\(\overline{g}: T_2 \cup_f T_1 \rightarrow \mathbb{R}, \overline{g}|_{C} = g\)があれば、\(T_2 \cup_f T_1\)はノーマル（正規）だということになる。
\(S\)\(T_1\)上でクローズド（閉）である、なぜなら、\(S = f_1 (S)\)および\(f_1\)はクローズド（閉）で、\(S\)は\(S\)上でクローズド（閉）だから。\({f_2}^{-1} (C) = {f_4}^{-1} (C) \cap T_1\)および\({f_3}^{-1} (C) = {f_4}^{-1} (C) \cap T_2\)はクローズド（閉）である、クウォシェント（商）トポロジカルスペース（空間）の定義およびトポロジカルサム（和）の定義によって。
最初は、\({f_3}^{-1} (C) = T_2\)だと仮定する、それは、\(S \subseteq {f_2}^{-1} (C)\)を意味する。\(h: {f_2}^{-1} (C) \rightarrow C, h = {f_2}|_{{f_2}^{-1} (C)}\)はコンティヌアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）における任意のリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。\(g \circ h: {f_2}^{-1} (C) \rightarrow \mathbb{R}\)はコンティヌアス（連続）である、コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちの合成として。\(T_1\)はノーマル（正規）であるから、ティーチェ拡張定理によって、あるコンティヌアス（連続）マップ（写像）\(i: T_1 \rightarrow \mathbb{R}, i|_{{f_2}^{-1} (C)} = g \circ h\)がある。\(\overline{g}\)を、\(f_2 (T_1)\)上は\(\overline{g} \circ f_2 = i\)によって、\(f_3 (T_2)\)上は\(\overline{g} \circ f_3 = g \circ f_3\)によって定義しよう、それは、正当な定義である、なぜなら、\(f_2 (T_1)\)および\(f_3 (T_2)\)は\(T_2 \cup_f T_1\)をカバーする; 任意の\(p \in T_1 \setminus {f_2}^{-1} (C)\)に対して、\(\overline{g} \circ f_2 (p) = \overline{g} ([p]) = i (p)\)、しかし、\(p \in T_1 \setminus S\)、\(S \subseteq {f_2}^{-1} (C)\)であるから、したがって、\(\overline{g} (\{p\}) = i (p)\)、そして、任意の\(p \in {f_2}^{-1} (C)\)に対して、\(\overline{g} \circ f_2 (p) = \overline{g} ([p]) = i|_{{f_2}^{-1} (C)} (p) = g (h (p)) = g ([p])\); 任意の\(p \in T_2\)に対して、\(\overline{g} \circ f_3 (p) = \overline{g} ([p]) = g \circ f_3 (p) = g ([p])\); \(\overline{g}\)は\(S\)に対してと\(f (S)\)に対してで矛盾しない、なぜなら、そこではいずれにせよ\(\overline{g} = g\)。
\(\overline{g}\)はコンティヌアス（連続）であるか？それは、任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq \mathbb{R}\)に対して、\({\overline{g}}^{-1} (U)\)がオープン（開）であるかという問題である。そのオープン（開）性は\({f_4}^{-1} ({\overline{g}}^{-1} (U)) \cap T_1 = {f_2}^{-1} ({\overline{g}}^{-1} (U))\)のオープン（開）性かつ\({f_4}^{-1} ({\overline{g}}^{-1} (U)) \cap T_2 = {f_3}^{-1} ({\overline{g}}^{-1} (U))\)のオープン（開）性に他ならない。前者はオープン（開）である、なぜなら、\(\overline{g} \circ f_2 = i\)はコンティヌアス（連続）であるから。後者については、\({f_3}^{-1} ({\overline{g}}^{-1} (U)) = {f_3}^{-1} ({\overline{g}}^{-1} (U) \cap C)\)、なぜなら、\(f_3\)は仮定により\(C\)の中へいずれにせよマップするから、\({f_3}^{-1} (C) = T_2\)、しかし、\(\overline{g}|_{C} = g\)であるから、\({\overline{g}}^{-1} (U) \cap C = {\overline{g}|_{C}}^{-1} (U) = g^{-1} (U)\)、任意のセット（集合）間マップ（写像）およびその任意のドメイン（定義域）制限に対して、そのドメイン（定義域）制限マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限された定義域とのインターセクション（共通集合）であるという命題によって。したがって、\({f_3}^{-1} ({\overline{g}}^{-1} (U)) = {f_3}^{-1} (g^{-1} (U))\)、それはオープン（開）である、オープンセット（開集合）の、コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちの合成下のプリイメージ（前像）として。
さて、\({f_3}^{-1} (C) \subset T_2\)だと仮定する。\(j: {f_3}^{-1} (C) \rightarrow C, j = {f_3}|_{{f_3}^{-1} (C)}\)はコンティヌアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）における任意のリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。\(g \circ j: {f_3}^{-1} (C) \rightarrow \mathbb{R}\)はコンティヌアス（連続）である、コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちの合成として。\(T_2\)はノーマル（正規）であるので、ティーチェ拡張定理によって、あるコンティヌアス（連続）マップ（写像）\(k: T_2 \rightarrow \mathbb{R}, k|_{{f_3}^{-1} (C)} = g \circ j\)がある。\(f_3 (T_2)\)はクローズド（閉）である、なぜなら、\({f_4}^{-1} (f_3 (T_2)) \cap T_1 = S\)および\({f_4}^{-1} (f_3 (T_2)) \cap T_2 = T_2\)は\(T_1\)上および\(T_2\)上でクローズド（閉）だから。\(g': f_3 (T_2) \cup C \rightarrow \mathbb{R}\)を、\(f_3 (T_2)\)上は\(g' \circ f_3 = k\)、\(C\)上は\(g' = g\)によって。それは正当な定義である、なぜなら、\(f_3 (T_2)\)と\(C\)で\(f_3 (T_2) \cup C\)をカバーする; 任意の\(p \in T_2\)に対して、\(g' \circ f_3 (p) = g' ([p]) = k (p)\)、しかし、\(p \mapsto [p]\)はインジェクティブ（単射）; \(g'\)は\(f_3 (T_2) \cap C\)上で矛盾しない、なぜなら、\(k|_{{f_3}^{-1} (C)} = g \circ j\)。
\(g'\)はコンティヌアス（連続）であるか？\(\{f_3 (T_2), C\}\)は\(f_3 (T_2) \cup C\)の有限クローズド（閉）カバーであり、もしも、\(g'|_{f_3 (T_2)}\)および\(g'|_{C}\)がコンティヌアス（連続）であれば、\(g'\)はコンティヌアス（連続）だということになる、トポロジカルスペース（空間）間の任意のマップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、ある有限クローズド（閉）カバーの各クローズドセット（閉集合）へのそのマップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合という命題によって。後者はコンティヌアス（連続）である、それは\(g\)に等しいから。前者については、任意の\(U \subseteq \mathbb{R}\)に対して、\({g'|_{f_3 (T_2)}}^{-1} (U)\)は\(f_3 (T_2) \)上でオープン（開）であるかという問題である（\(T_2 \cup_f T_1\)上においてでないことに注意）。\({f_4}^{-1} ({g'|_{f_3 (T_2)}}^{-1} (U)) \cap T_1 = f^{-1} ({f_3}^{-1} ({g'|_{f_3 (T_2)}}^{-1} (U))) = f^{-1} (k^{-1} (U))\)、\(S\)上でオープン（開）、なぜなら、\(g'|_{f_3 (T_2)} \circ f_3 = k\)はコンティヌアス（連続）および\(f\)はコンティヌアス（連続）、それが意味するのは、以下を満たすオープンセット（開集合）\(U' \subseteq T_1\)がある、つまり、\(U' \cap S = {f_4}^{-1} ({g'|_{f_3 (T_2)}}^{-1} (U)) \cap T_1\)。\(S = {f_4}^{-1} (f_3 (T_2)) \cap T_1\)。\({f_4}^{-1} ({g'|_{f_3 (T_2)}}^{-1} (U)) \cap T_2 = {f_3}^{-1} ({g'|_{f_3 (T_2)}}^{-1} (U)) = k^{-1} (U) := U''\)、\(T_2\)上でオープン（開）。\(U' \cap S = f^{-1} (U'') = f^{-1} (U'' \cap f (S))\)。任意のアジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）およびその任意のサブスペース（部分空間）に対して、当該サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、当該サブセット（部分集合）の当該クウォシェント（商）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）の、アタッチング元スペース（空間）およびアタッチング先スペース（空間）へのプロジェクション（射影）たちが、サブスペース（部分空間）の当該クウォシェント（商）マップ（写像）下プリイメージ（前像）のプロジェクション（射影）たち上でオープン（開）であり、条件: [アタッチング元スペース（空間）プロジェクション（射影）がアタッチング先スペース（空間）プロジェクション（射影）と、アタッチングマップ（射影）に関して調和している]を満たしている場合、そしてその場合に限ってという命題によって、\(U'\)および\(U''\)はその必要条件たちを満たすので、\({g'|_{f_3 (T_2)}}^{-1} (U)\)は\(f_3 (T_2)\)上でオープン（開）である。したがって、\(g'\)はコンティヌアス（連続）である。
さて、\({f_3}^{-1} (f_3 (T_2) \cup C) = T_2\)、\(g\)の代わりに\(g'\)についての第1のケースである、したがって、あるコンティヌアス（連続）拡張\(\overline{g'}: T_2 \cup_f T_1 \rightarrow \mathbb{R}\)があり、それは\(g\)のコンティヌアス（連続）拡張である。
したがって、ティーチェ拡張定理の逆によって、\(T_2 \cup_f T_1\)はノーマル（正規）である。
4)については、\(f\)はクウォシェント（商）マップ（写像）だと仮定する。\(f_2\)はコンティヌアス（連続）サージェクション（全射）である。任意のサブセット（部分集合）\(S' \subseteq T_2 \cup_f T_1\)に対して、\({f_2}^{-1} (S')\)はオープン（開）であると仮定する。\(S'\)はオープン（開）であるか？そのオープン（開）性は\({f_4}^{-1} (S') \cap T_1\)のオープン（開）性かつ\({f_4}^{-1} (S') \cap T_2\)のオープン（開）性に他ならない。前者は\({f_2}^{-1} (S')\)に他ならない、したがってオープン（開）。後者については、\({f^{-1} (f_4}^{-1} (S') \cap T_2) = {f_2}^{-1} (S') \cap S\)、それは\(S\)サブスペース（部分空間）トポロジーでオープン（開）である、\({f_2}^{-1} (S')\)は\(T_1\)上でオープン（開）である、したがって、\(f\)はクウォシェント（商）マップ（写像）だから、\({f_4}^{-1} (S') \cap T_2\)はオープン（開）である。
