350: ユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされたユークリディアントポロジカルスペース（空間）はトポロジカルサブスペース（部分空間）である

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ユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされたユークリディアントポロジカルスペース（空間）はトポロジカルサブスペース（部分空間）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、　任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされた任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ネストしているユークリディアントポロジカルスペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

以下を満たす任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち${\mathbb{R}}^{d_1}$および${\mathbb{R}}^{d_2}$、つまり、${\mathbb{R}}^{d_2}\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1}$、ここで、不可避に$d_2\le d_1$、ここで、それは${\mathbb{R}}^{d_1}={\mathbb{R}}^{d_2}\times {\mathbb{R}}^{d_1-d_2}$を意味しない、なぜなら、${\mathbb{R}}^{d_2}$は${\mathbb{R}}^{d_1}$に対して回転かつ/または並行移動されたかもしれないから、に対して、${\mathbb{R}}^{d_2}$のトポロジーは${\mathbb{R}}^{d_1}$のサブスペース（部分空間）トポロジーである。

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2: 証明

${\mathbb{R}}^{d_1}$上の任意のオープンボール（開球）$B_1$は、${\mathbb{R}}^{d_2}$上で、オープンボール（開球）$B_2=B_1\cap {\mathbb{R}}^{d_2}$またはエンプティセット（空集合）である、また、${\mathbb{R}}^{d_2}$上の任意のオープンボール（開球）$B_2$に対して、${\mathbb{R}}^{d_1}$上に、以下を満たすあるオープンボール（開球）$B_1$、つまり、$B_2=B_1\cap {\mathbb{R}}^{d_2}$、があることを示せば十分である、なぜなら、そうであれば、${\mathbb{R}}^{d_2}$上の任意のオープンセット（開集合）$U_2$はいくつかの${\mathbb{R}}^{d_2}$上オープンボール（開球）たちのユニオン（和集合）${\cup }_{\alpha }{B}_{2_{\alpha }}$であり、それらオープンボール（開球）たちの内のそれぞれはサブスペース（部分空間）トポロジーでオープン（開）であろう、したがって、$U_2$はサブスペース（部分空間）トポロジーでオープン（開）であろう、その一方、${\mathbb{R}}^{d_2}$上の任意のサブセット（部分集合）$S_2$でサブスペース（部分空間）トポロジーでオープン（開）であるものは$S_2=U_1\cap {\mathbb{R}}^{d_2}$、ここで$U_1$は${\mathbb{R}}^{d_1}$上でオープン（開）、しかし、$U_1$はいくつかの${\mathbb{R}}^{d_1}$上オープンボール（開球）たちのユニオン（和集合）${\cup }_{\alpha }{B}_{1_{\alpha }}$であり、$S_2=({\cup }_{\alpha }{B}_{1_{\alpha }})\cap {\mathbb{R}}^{d_2}={\cup }_{\alpha }(B_{1_{\alpha }}\cap {\mathbb{R}}^{d_2})$、しかし、$B_{1_{\alpha }}\cap {\mathbb{R}}^{d_2}$は${\mathbb{R}}^{d_2}$上でオープンボール（開球）またはエンプティセット（空集合）であろうから、$S_2$は${\mathbb{R}}^{d_2}$上でオープン（開）であろう。

さて、${\mathbb{R}}^{d_2}$は、${\mathbb{R}}^{d_1}$のサブセット（部分集合）で$d_2+1,...,d_1$コンポーネントたちが0であるものを、その後に原点を中心として回転され、次に平行移動されたものである。したがって、${\mathbb{R}}^{d_1}$上に、スタンダードチャートが、${\mathbb{R}}^{d_2}$に対してと同様に、原点を中心として回転され、次に平行移動されたグローバルチャートをとることができる。新たなチャートにおいて、${\mathbb{R}}^{d_2}$は、${\mathbb{R}}^{d_1}$の、$d_2+1,...,d_1$コンポーネントたちが0であるというサブセット（部分集合）であり、${\mathbb{R}}^{d_2}$上の任意のポイントは、${\mathbb{R}}^{d_2}$スタンダードチャートと${\mathbb{R}}^{d_1}$新チャートで同一$1,...,d_2$コンポーネントたちを持っている。以後、この新チャートを常に使おう。

$B_1$は$\{x\in {\mathbb{R}}^{d_1}|\sum _{i=1,...,d_1}(x_i-p_i{)}^2<{ϵ}^2\}$、ここで、$p$はそのボール（球）の中心である。$B_1\cap {\mathbb{R}}^{d_2}$は$\{x\in {\mathbb{R}}^{d_2}|\sum _{i=1,...,d_2}(x_i-p_i{)}^2+\sum _{i=d_2+1,...,d_1}(p_i{)}^2<{ϵ}^2\}=\{x\in {\mathbb{R}}^{d_2}|\sum _{i=1,...,d_2}(x_i-p_i{)}^2<{ϵ}^2-\sum _{i=d_2+1,...,d_1}(p_i{)}^2\}$、それは、${\mathbb{R}}^{d_2}$上でオープンボール（開球）またはエンプティセット（空集合）である。

$B_2$は$\{x\in {\mathbb{R}}^{d_2}|\sum _{i=1,...,d_2}(x_i-p_i{)}^2<{ϵ}^2\}$、ここで、$p$はそのボール（球）の中心である。${\mathbb{R}}^{d_1}$上のサブセット（部分集合）$\{x\in {\mathbb{R}}^{d_1}|\sum _{i=1,...,d_2}(x_i-p_i{)}^2+\sum _{i=d_2+1,...,d_1}(x_i-0{)}^2<{ϵ}^2\}$があり、それは${\mathbb{R}}^{d_1}$上で$(p_1,...,p_{d_2},0,...,0)$を中心とするオープンボール（開球）であり、それを$B_1$と名付けると、$B_1\cap {\mathbb{R}}^{d_2}$は$B_2$。

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参考資料

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