ユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされたユークリディアントポロジカルスペース（空間）はトポロジカルサブスペース（部分空間）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、 任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされた任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ネストしているユークリディアントポロジカルスペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
以下を満たす任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち\(\mathbb{R}^{d_1}\)および\(\mathbb{R}^{d_2}\)、つまり、\(\mathbb{R}^{d_2} \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)、ここで、不可避に\(d_2 \leq d_1\)、ここで、それは\(\mathbb{R}^{d_1} = \mathbb{R}^{d_2} \times \mathbb{R}^{d_1 - d_2}\)を意味しない、なぜなら、\(\mathbb{R}^{d_2}\)は\(\mathbb{R}^{d_1}\)に対して回転かつ/または並行移動されたかもしれないから、に対して、\(\mathbb{R}^{d_2}\)のトポロジーは\(\mathbb{R}^{d_1}\)のサブスペース（部分空間）トポロジーである。
2: 証明
\(\mathbb{R}^{d_1}\)上の任意のオープンボール（開球）\(B_1\)は、\(\mathbb{R}^{d_2}\)上で、オープンボール（開球）\(B_2 = B_1 \cap \mathbb{R}^{d_2}\)またはエンプティセット（空集合）である、また、\(\mathbb{R}^{d_2}\)上の任意のオープンボール（開球）\(B_2\)に対して、\(\mathbb{R}^{d_1}\)上に、以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_1\)、つまり、\(B_2 = B_1 \cap \mathbb{R}^{d_2}\)、があることを示せば十分である、なぜなら、そうであれば、\(\mathbb{R}^{d_2}\)上の任意のオープンセット（開集合）\(U_2\)はいくつかの\(\mathbb{R}^{d_2}\)上オープンボール（開球）たちのユニオン（和集合）\(\cup_{\alpha} B_{2_\alpha}\)であり、それらオープンボール（開球）たちの内のそれぞれはサブスペース（部分空間）トポロジーでオープン（開）であろう、したがって、\(U_2\)はサブスペース（部分空間）トポロジーでオープン（開）であろう、その一方、\(\mathbb{R}^{d_2}\)上の任意のサブセット（部分集合）\(S_2\)でサブスペース（部分空間）トポロジーでオープン（開）であるものは\(S_2 = U_1 \cap \mathbb{R}^{d_2}\)、ここで\(U_1\)は\(\mathbb{R}^{d_1}\)上でオープン（開）、しかし、\(U_1\)はいくつかの\(\mathbb{R}^{d_1}\)上オープンボール（開球）たちのユニオン（和集合）\(\cup_{\alpha} B_{1_\alpha}\)であり、\(S_2 = (\cup_{\alpha} B_{1_\alpha}) \cap \mathbb{R}^{d_2} = \cup_{\alpha} (B_{1_\alpha} \cap \mathbb{R}^{d_2})\)、しかし、\(B_{1_\alpha} \cap \mathbb{R}^{d_2}\)は\(\mathbb{R}^{d_2}\)上でオープンボール（開球）またはエンプティセット（空集合）であろうから、\(S_2\)は\(\mathbb{R}^{d_2}\)上でオープン（開）であろう。
さて、\(\mathbb{R}^{d_2}\)は、\(\mathbb{R}^{d_1}\)のサブセット（部分集合）で\(d_2 + 1, . . ., d_1\)コンポーネントたちが0であるものを、その後に原点を中心として回転され、次に平行移動されたものである。したがって、\(\mathbb{R}^{d_1}\)上に、スタンダードチャートが、\(\mathbb{R}^{d_2}\)に対してと同様に、原点を中心として回転され、次に平行移動されたグローバルチャートをとることができる。新たなチャートにおいて、\(\mathbb{R}^{d_2}\)は、\(\mathbb{R}^{d_1}\)の、\(d_2 + 1, . . ., d_1\)コンポーネントたちが0であるというサブセット（部分集合）であり、\(\mathbb{R}^{d_2}\)上の任意のポイントは、\(\mathbb{R}^{d_2}\)スタンダードチャートと\(\mathbb{R}^{d_1}\)新チャートで同一\(1, . . ., d_2\)コンポーネントたちを持っている。以後、この新チャートを常に使おう。
\(B_1\)は\(\{x \in \mathbb{R}^{d_1}| \sum_{i = 1, . . ., d_1} (x_i - p_i)^{2} \lt \epsilon^2\}\)、ここで、\(p\)はそのボール（球）の中心である。\(B_1 \cap \mathbb{R}^{d_2}\)は\(\{x \in \mathbb{R}^{d_2}| \sum_{i = 1, . . ., d_2} (x_i - p_i)^{2} + \sum_{i = d_2 + 1, . . ., d_1} (p_i)^{2} \lt \epsilon^2\} = \{x \in \mathbb{R}^{d_2}| \sum_{i = 1, . . ., d_2} (x_i - p_i)^{2} \lt \epsilon^2 - \sum_{i = d_2 + 1, . . ., d_1} (p_i)^{2}\}\)、それは、\(\mathbb{R}^{d_2}\)上でオープンボール（開球）またはエンプティセット（空集合）である。
\(B_2\)は\(\{x \in \mathbb{R}^{d_2}| \sum_{i = 1, . . ., d_2} (x_i - p_i)^{2} \lt \epsilon^2\}\)、ここで、\(p\)はそのボール（球）の中心である。\(\mathbb{R}^{d_1}\)上のサブセット（部分集合）\(\{x \in \mathbb{R}^{d_1}| \sum_{i = 1, . . ., d_2} (x_i - p_i)^{2} + \sum_{i = d_2 + 1, . . ., d_1} (x_i - 0)^{2} \lt \epsilon^2\}\)があり、それは\(\mathbb{R}^{d_1}\)上で\((p_1, . . ., p_{d_2}, 0, . . ., 0)\)を中心とするオープンボール（開球）であり、それを\(B_1\)と名付けると、\(B_1 \cap \mathbb{R}^{d_2}\)は\(B_2\)。
