ユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされたユークリディアントポロジカルスペース（空間）はトポロジカルサブスペース（部分空間）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線型写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされた任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ネストしているユークリディアントポロジカルスペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(d'\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)で、\(d \le d'\)を満たすもの
\(\mathbb{R}^{d'}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(\iota\): \(: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^{d'}, (r^1, ..., r^d)^t \mapsto (r^1, ..., r^d, 0, ..., 0)^t\), \(= \text{ 当該インクルージョン（封入） }\)
\(r\): \(: \mathbb{R}^{d'} \to \mathbb{R}^{d'}, (r^1, ..., r^{d'})^t \mapsto M (r^1, ..., r^{d'})^t\)、ここで、\(M\)は任意のインバーティブル（可逆）\(d' \times d'\)リアル（実）マトリックス（行列）
\(t\): \(: \mathbb{R}^{d'} \to \mathbb{R}^{d'}, (r^1, ..., r^{d'})^t \mapsto (r^1, ..., r^{d'})^t + (t^1, ..., t^{d'})^t\), \(= \text{ 当該トランスレーション（並び替え） }\)
\(f\): \(: \mathbb{R}^d \to t \circ r \circ \iota (\mathbb{R}^d) \subseteq \mathbb{R}^{d'}, (r^1, ..., r^d)^t \mapsto t \circ r \circ \iota ((r^1, ..., r^d)^t)\)、ここで、\(t \circ r \circ \iota (\mathbb{R}^d)\)は\(\mathbb{R}^{d'}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
//
2: 注
本命題は、口語的に、"\(\mathbb{R}^d\)は\(\mathbb{R}^{d'}\)内にネストされており、\(\mathbb{R}^d\)は\(\mathbb{R}^{d'}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である"と言っているが、もっと厳密に述べると、\(\mathbb{R}^d\)は\(\mathbb{R}^{d'}\)内にインジェクトされ、当該イメージ（像）のトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものは、当該インジェクション（単射）の下で\(\mathbb{R}^d\)の上へホメオモーフィック（位相同形写像）である。
実のところ、元の動機においては、\(r\)は任意のローテーション（回転）であった（すると、\(\mathbb{R}^d\)は幾何学的に\(\mathbb{R}^{d'}\)内にネストされることになる）、しかし、\(r\)は実のところローテーション（回転）に制限される必要はない、\(f\)がホメオモーフィック（位相同形写像）であるために、したがって、本命題は、この一般化された形態を持つ。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\iota': \mathbb{R}^d \to \iota (\mathbb{R}^d) \subseteq \mathbb{R}^{d'}\)、\(r': \iota (\mathbb{R}^d) \subseteq \mathbb{R}^{d'} \to r (\iota (\mathbb{R}^d)) \subseteq \mathbb{R}^{d'}\)、\(t': r (\iota (\mathbb{R}^d)) \subseteq \mathbb{R}^{d'} \to t (r (\iota (\mathbb{R}^d))) \subseteq \mathbb{R}^{d'}\)を\(\iota\)、\(r\)、\(t\)のリストリクション（制限）たちと取り、\(f = t' \circ r' \circ \iota'\)であることを見る; ステップ2: \(\iota'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る; ステップ3: \(r'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る; ステップ4: \(t'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(\iota': \mathbb{R}^d \to \iota (\mathbb{R}^d) \subseteq \mathbb{R}^{d'}\)、ここで、当該コドメイン（余域）は\(\mathbb{R}^{d'}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）、を\(\iota\)のリストリクション（制限）として取ろう。
\(r': \iota (\mathbb{R}^d) \subseteq \mathbb{R}^{d'} \to r (\iota (\mathbb{R}^d)) \subseteq \mathbb{R}^{d'}\)、ここで、当該ドメイン（定義域）および当該コドメイン（余域）は\(\mathbb{R}^{d'}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）たち、を\(r\)のリストリクション（制限）として取ろう。
\(t': r (\iota (\mathbb{R}^d)) \subseteq \mathbb{R}^{d'} \to t (r (\iota (\mathbb{R}^d))) \subseteq \mathbb{R}^{d'}\)、ここで、当該ドメイン（定義域）および当該コドメイン（余域）は\(\mathbb{R}^{d'}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）たち、を\(t\)のリストリクション（制限）として取ろう。
\(f = t' \circ r' \circ \iota'\)、明らかに。
\(\iota'\)のコドメイン（余域）は\(r'\)のドメイン（定義域）に等しく、\(r'\)のコドメイン（余域）は\(t'\)のドメイン（定義域）に等しいので、もしも、\(\iota'\)、\(r'\)、\(t'\)がホメオモーフィズム（位相同形写像）たちである場合、\(f\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であろう、それがこれ以降に証明される。
ステップ2:
\(\iota'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見よう。
\(\iota'\)はバイジェクション（全単射）である、明らかに。
\(U \subseteq \mathbb{R}^d\)を任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(\iota' (U) \subseteq \iota (\mathbb{R}^d)\)はオープンサブセット（開部分集合）であることを見よう。
\(\iota (p) \in \iota' (U)\)を任意のものとしよう。
\(p = (p^1, ..., p^d) \in U\)。
\(p\)の周りに以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{p, \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(B_{p, \epsilon} \subseteq U\)、がある。
\(\iota' (B_{p, \epsilon}) \subseteq \iota' (U)\)。
\(\iota' (B_{p, \epsilon}) = B'_{\iota (p), \epsilon} \cap \iota (\mathbb{R}^d)\)、ここで、\(B'_{\iota (p), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^{d'}\)は\(\iota (p)\)周りの\(\mathbb{R}^{d'}\)上におけるうオープンボール（開球）、であることを見よう。
\(p' \in \iota' (B_{p, \epsilon})\)を任意のものとしよう。
\(p' = (p'^1, ..., p'^d, 0, ..., 0)\)で、\((p'^1 - p^1)^2 + ... + (p'^d - p^d)^2 \lt \epsilon^2\)を満たす。
\(p' \in B'_{\iota (p), \epsilon}\)、なぜなら、\(\iota (p) = (p^1, ..., p^d, 0, ..., 0)\)であるところ、\((p'^1 - p^1)^2 + ... + (p'^d - p^d)^2 + (0 - 0)^2 + ... + (0 - 0)^2 = (p'^1 - p^1)^2 + ... + (p'^d - p^d)^2 \lt \epsilon^2\)。
\(p' \in \iota (\mathbb{R}^d)\)。
したがって、\(p' \in B'_{\iota (p), \epsilon} \cap \iota (\mathbb{R}^d)\)。
したがって、\(\iota' (B_{p, \epsilon}) \subseteq B'_{\iota (p), \epsilon} \cap \iota (\mathbb{R}^d)\)。
\(p' \in B'_{\iota (p), \epsilon} \cap \iota (\mathbb{R}^d)\)を任意のものとしよう。
\(p' = (p'^1, ..., p'^d, 0, ..., 0)\)で、\((p'^1 - p^1)^2 + ... + (p'^d - p^d)^2 + (0 - 0)^2 + ... + (0 - 0)^2 \lt \epsilon^2\)を満たす。
したがって、\((p'^1, ..., p'^d) \in B_{p, \epsilon}\)、なぜなら、\((p'^1 - p^1)^2 + ... + (p'^d - p^d)^2 \lt \epsilon^2\)、そして、\(p' = \iota' ((p'^1, ..., p'^d)) \in \iota' (B_{p, \epsilon})\)。
したがって、\(B'_{\iota (p), \epsilon} \cap \iota (\mathbb{R}^d) \subseteq \iota' (B_{p, \epsilon})\)。
したがって、\(\iota' (B_{p, \epsilon}) = B'_{\iota (p), \epsilon} \cap \iota (\mathbb{R}^d)\)。
したがって、\(\iota' (B_{p, \epsilon})\)は\(\iota (p)\)の\(\iota (\mathbb{R}^d)\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
オープン（開）であることのローカル基準によって、\(\iota' (U)\)は\(\iota (\mathbb{R}^d)\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
別方向を見よう。
\(\iota (U) \subseteq \iota (\mathbb{R}^d)\)を任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(U = \iota'^{-1} (\iota (U)) \subseteq \mathbb{R}^d\)はオープンサブセット（開部分集合）であることを見よう。
\(p \in U\)を任意のものとしよう。
\(p = (p^1, ..., p^d) \in U\)。
\(\iota (p)\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\iota (p)} \subseteq \iota (\mathbb{R}^d)\)、つまり、\(U_{\iota (p)} \subseteq \iota (U)\)、がある。
\(U_{\iota (p)} = U'_{\iota (p)} \cap \iota (\mathbb{R}^d)\)、ここで、\(U'_{\iota (p)} \subseteq \mathbb{R}^{d'}\)は\(\iota (p)\)の\(\mathbb{R}^{d'}\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）、である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
\(\iota (p)\)の周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B'_{\iota (p), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^{d'}\)、つまり、\(B'_{\iota (p), \epsilon} \subseteq U'_{\iota (p)}\)、がある。
\(B'_{\iota (p), \epsilon} \cap \iota (\mathbb{R}^d) \subseteq U'_{\iota (p)} \cap \iota (\mathbb{R}^d) = U_{\iota (p)} \subseteq \iota (U)\)。
\(B'_{\iota (p), \epsilon} \cap \iota (\mathbb{R}^d) = \iota (B_{p, \epsilon})\)、ここで、\(\iota (B_{p, \epsilon}) \subseteq \mathbb{R}^d\)は\(p\)の周りの\(\mathbb{R}^d\)上におけるオープンボール（開球）、であることを見よう。
\(p' \in B'_{\iota (p), \epsilon} \cap \iota (\mathbb{R}^d)\)を任意のものとしよう。
\(p' = (p'^1, ..., p'^d, 0, ..., 0)\)で、\((p'^1 - p^1)^2 + ... + (p'^d - p^d)^2 + (0 - 0)^2 + ... + (0 - 0)^2 \lt \epsilon^2\)を満たす。
したがって、\((p'^1, ..., p'^d) \in B_{p, \epsilon}\)、なぜなら、\((p'^1 - p^1)^2 + ... + (p'^d - p^d)^2 \lt \epsilon^2\)、そして、\(p' = \iota ((p'^1, ..., p'^d)) \in \iota (B_{p, \epsilon})\)。
したがって、\(B'_{\iota (p), \epsilon} \cap \iota (\mathbb{R}^d) \subseteq \iota (B_{p, \epsilon})\)。
\(p' \in \iota (B_{p, \epsilon})\)を任意のものとしよう。
\(p' = (p'^1, ..., p'^d, 0, ..., 0)\)で、\((p'^1 - p^1)^2 + ... + (p'^d - p^d)^2 \lt \epsilon^2\)を満たす。
\(p' \in B'_{\iota (p), \epsilon}\)、なぜなら、\(\iota (p) = (p^1, ..., p^d, 0, ..., 0)\)であるところ、\((p'^1 - p^1)^2 + ... + (p'^d - p^d)^2 + (0 - 0)^2 + ... + (0 - 0)^2 = (p'^1 - p^1)^2 + ... + (p'^d - p^d)^2 \lt \epsilon^2\)。
\(p' \in \iota (\mathbb{R}^d)\)。
したがって、\(p' \in B'_{\iota (p), \epsilon} \cap \iota (\mathbb{R}^d)\)。
したがって、\(\iota (B_{p, \epsilon}) \subseteq B'_{\iota (p), \epsilon} \cap \iota (\mathbb{R}^d)\)。
したがって、\(B'_{\iota (p), \epsilon} \cap \iota (\mathbb{R}^d) = \iota (B_{p, \epsilon})\)。
したがって、\(\iota (B_{p, \epsilon}) \subseteq \iota (U)\)。
それが意味するのは、\(B_{p, \epsilon} \subseteq U\)、なぜなら、\(\iota\)はインジェクティブ（単射）である。
オープン（開）であることのローカル基準によって、\(U\)は\(\mathbb{R}^d\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
したがって、\(\iota'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
ステップ3:
\(r'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
\(r\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見よう。
\(r\)はリニアマップ（線型写像）である、したがって、コンティニュアス（連続）である、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線型写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
また、\(r^{-1}\)はリニアマップ（線型写像）である、なぜなら、それは、\(M^{-1}\)によるマップ（写像）である、したがって、コンティニュアス（連続）である、同様に。
\(r'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、なぜなら、\(r'\)および\(r'^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
ステップ4:
\(t'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見よう。
\(t\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、明らかに。
\(t'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、なぜなら、\(t'\)および\(t'^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
ステップ5:
したがって、\(f\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
