マップ（写像）コンティヌアス（連続）性の、トポロジー上の意味におけるものとコーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるものとの同値性の記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）、ノルム付き空間間マップの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールドたち間マップ（写像）に対して、そのコンティヌアス（連続）性の、トポロジー上の意味におけるものは、そのコンティヌアス（連続）性の、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるもの、と同値であることの命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(M_1\)および\(M_2\)、および任意のマップ（写像）\(f: M_1 \rightarrow M_2\)に対して、\(f\)はトポロジー上の意味においてコンティヌアス（連続）である、もしも、\(f\)がコーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味においてコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(f\)は、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味においてコンティヌアス（連続）であると仮定する。任意のポイント\(m_2 \in U_2\)の周りの任意のオープンセット（開集合）\(U_2 \subseteq M_2\)に対して、あるチャート\((U_{m_2}, \phi_{m_2}), \phi_{m_2}: U_{m_2} \rightarrow \phi_{m_2} (U_{m_2}) \subseteq \mathbb{R}^{d_2})\)、ここで、\(U_{m_2} \subseteq U_2\)がある。\(f^{-1} (m_2)\)は、複数ポイントたちからなるかもしれないが、任意のポイント\(m_1 \in f^{-1} (m_2)\)の周りに、あるチャート\((U_{m_1}, \phi_{m_1}), \phi_{m_1}: U_{m_1} \rightarrow \phi_{m_1} (U_{m_1}) \subseteq \mathbb{R}^{d_1})\)があり、ノルムの意味におけるコンティヌアス（連続）によって、任意のオープンボール（開球）\(B_{\phi_2 (m_2)-\epsilon} \subseteq \phi_{m_2} (U_{m_2})\)に対して、以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{\phi_1 (m_1)-\delta} \subseteq \phi_{m_1} (U_{m_1})\)、つまり、\(\phi_{m_2} (f (\phi_{m_1}^{-1} (B_{\phi_1 (m_1)-\delta}))) \subseteq B_{\phi_2 (m_2)-\epsilon}\)がある。しかし、\(\phi_{m_1}^{-1} (B_{\phi_1 (m_1)-\delta})\)は、\(M_1\)上でオープン（開）で、\(f^{-1} (U_2)\)に包含されている、なぜなら、\(f (\phi_{m_1}^{-1} (B_{\phi_1 (m_1)-\delta})) \subseteq \phi_{m_2}^{-1} (B_{\phi_2 (m_2)-\epsilon}) \subseteq U_2\)。\(\{m_1\} = f^{-1} (U_2)\)であるから、あるオープンセット（開集合）\(\phi_{m_1}^{-1} (B_{\phi_1 (m_1)-\delta}) \subseteq f^{-1} (U_2)\)が任意のポイント\(m_1 \in f^{-1} (U_2)\)にある、したがって、オープン（開）であることのローカル基準によって、\(f^{-1} (U_2)\)はオープン（開）である。したがって、任意のオープンセット（開集合）のプリイメージ（前像）がオープン（開）であるから、\(f\)は、トポロジー上の意味においてコンティヌアス（連続）である。
\(f\)はトポロジー上の意味においてコンティヌアス（連続）であると仮定する。任意のポイント\(m_1 \in M_1\)、ここで\(f (m_1) = m_2\)に対して、あるチャート\((U_{m_2}, \phi_{m_2}), \phi_{m_2}: U_{m_2} \rightarrow \phi_{m_2} (U_{m_2}) \subseteq \mathbb{R}^{d_2})\)がある。あるオープンボール（開球）\(B_{\phi_{m_2-\epsilon}} \subseteq \phi_{m_2} (U_{m_2})\)があって、トポロジー上のコンティヌアス（連続）性によって、\(f^{-1} (\phi_{m_2}^{-1} (B_{\phi_{m_2}-\epsilon}))\)はオープン（開）で\(m_1\)を包含している、したがって、あるチャート\((U_{m_1}, \phi_{m_1}), \phi_{m_1}: U_{m_1} \rightarrow \phi_{m_1} (U_{m_1}) \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)、ここで、\(U_{m_1} \subseteq f^{-1} (\phi_{m_2}^{-1} (B_{\phi_{m_2}-\epsilon}))\)があり、以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{\phi_{m_1}-\delta} \subseteq \phi_{m_1} (U_{m_1})\)、つまり、\(\phi_{m_2} (f ({\phi_{m_1}}^{-1} (B_{\phi_{m_1}-\delta}))) \subseteq B_{\phi_{m_2}-\epsilon}\)、がある、なぜなら、\(B_{\phi_{m_1}-\delta}\)は\(\phi_{m_1} (U_{m_1})\)内に含まれており、\(U_{m_1}\)は\(f^{-1} (\phi_{m_2}^{-1} (B_{\phi_{m_2}-\epsilon}))\)内に含まれているから、それが意味するのは、\(f ({\phi_{m_1}}^{-1} (B_{\phi_{m_1}-\delta}))\)は\({\phi_{m_2}}^{-1} (B_{\phi_{m_2}-\epsilon})\)内に含まれているということ、それが意味するのは、\(\phi_{m_2} (f ({\phi_{m_1}}^{-1} (B_{\phi_{m_1}-\delta})))\)は\(B_{\phi_{m_2}-\epsilon}\)内に含まれているということ。
3: 注
あるマップ（写像）の、トポロジー上の意味におけるコンティヌアス（連続）性が、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちのノルムの意味におけるコンティヌアス（連続）性によって主張されるということが汎く見受けられるが、その議論は本命題または類似のものがゆえにのみ有効である。
