349: マップ（写像）コンティヌアス（連続）性の、トポロジー上の意味におけるものとコーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるものとの同値性|T.B.P.日本語版

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マップ（写像）コンティヌアス（連続）性の、トポロジー上の意味におけるものとコーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるものとの同値性の記述/証明

話題

About: $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）
About: マップ（写像）

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 記述
2: 証明
3: 注

開始コンテキスト

読者は、 $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
読者は、コンティヌアス（連続）、ノルム付き空間間マップの定義を知っている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意の $C^{\infty}$ マニフォールドたち間マップ（写像）に対して、そのコンティヌアス（連続）性の、トポロジー上の意味におけるものは、そのコンティヌアス（連続）性の、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるもの、と同値であることの命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述

任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たち

M_{1}

および

M_{2}

、および任意のマップ（写像）

f : M_{1} \to M_{2}

に対して、

f

はトポロジー上の意味においてコンティヌアス（連続）である、もしも、

f

がコーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味においてコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限って。

2: 証明

f

は、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味においてコンティヌアス（連続）であると仮定する。任意のポイント

m_{2} \in U_{2}

の周りの任意のオープンセット（開集合）

U_{2} \subseteq M_{2}

に対して、あるチャート

(U_{m_{2}}, ϕ_{m_{2}}), ϕ_{m_{2}} : U_{m_{2}} \to ϕ_{m_{2}} (U_{m_{2}}) \subseteq R^{d_{2}})

、ここで、

U_{m_{2}} \subseteq U_{2}

がある。

f^{- 1} (m_{2})

は、複数ポイントたちからなるかもしれないが、任意のポイント

m_{1} \in f^{- 1} (m_{2})

の周りに、あるチャート

(U_{m_{1}}, ϕ_{m_{1}}), ϕ_{m_{1}} : U_{m_{1}} \to ϕ_{m_{1}} (U_{m_{1}}) \subseteq R^{d_{1}})

があり、ノルムの意味におけるコンティヌアス（連続）によって、任意のオープンボール（開球）

B_{ϕ_{2} (m_{2}) - ϵ} \subseteq ϕ_{m_{2}} (U_{m_{2}})

に対して、以下を満たすあるオープンボール（開球）

B_{ϕ_{1} (m_{1}) - δ} \subseteq ϕ_{m_{1}} (U_{m_{1}})

、つまり、

ϕ_{m_{2}} (f (ϕ_{m_{1}}^{- 1} (B_{ϕ_{1} (m_{1}) - δ}))) \subseteq B_{ϕ_{2} (m_{2}) - ϵ}

がある。しかし、

ϕ_{m_{1}}^{- 1} (B_{ϕ_{1} (m_{1}) - δ})

は、

M_{1}

上でオープン（開）で、

f^{- 1} (U_{2})

に包含されている、なぜなら、

f (ϕ_{m_{1}}^{- 1} (B_{ϕ_{1} (m_{1}) - δ})) \subseteq ϕ_{m_{2}}^{- 1} (B_{ϕ_{2} (m_{2}) - ϵ}) \subseteq U_{2}

。

{m_{1}} = f^{- 1} (U_{2})

であるから、あるオープンセット（開集合）

ϕ_{m_{1}}^{- 1} (B_{ϕ_{1} (m_{1}) - δ}) \subseteq f^{- 1} (U_{2})

が任意のポイント

m_{1} \in f^{- 1} (U_{2})

にある、したがって、オープン（開）であることのローカル基準によって、

f^{- 1} (U_{2})

はオープン（開）である。したがって、任意のオープンセット（開集合）のプリイメージ（前像）がオープン（開）であるから、

f

は、トポロジー上の意味においてコンティヌアス（連続）である。

f

はトポロジー上の意味においてコンティヌアス（連続）であると仮定する。任意のポイント

m_{1} \in M_{1}

、ここで

f (m_{1}) = m_{2}

に対して、あるチャート

(U_{m_{2}}, ϕ_{m_{2}}), ϕ_{m_{2}} : U_{m_{2}} \to ϕ_{m_{2}} (U_{m_{2}}) \subseteq R^{d_{2}})

がある。あるオープンボール（開球）

B_{ϕ_{m_{2} - ϵ}} \subseteq ϕ_{m_{2}} (U_{m_{2}})

があって、トポロジー上のコンティヌアス（連続）性によって、

f^{- 1} (ϕ_{m_{2}}^{- 1} (B_{ϕ_{m_{2}} - ϵ}))

はオープン（開）で

m_{1}

を包含している、したがって、あるチャート

(U_{m_{1}}, ϕ_{m_{1}}), ϕ_{m_{1}} : U_{m_{1}} \to ϕ_{m_{1}} (U_{m_{1}}) \subseteq R^{d_{1}}

、ここで、

U_{m_{1}} \subseteq f^{- 1} (ϕ_{m_{2}}^{- 1} (B_{ϕ_{m_{2}} - ϵ}))

があり、以下を満たすあるオープンボール（開球）

B_{ϕ_{m_{1}} - δ} \subseteq ϕ_{m_{1}} (U_{m_{1}})

、つまり、

ϕ_{m_{2}} (f ({ϕ_{m_{1}}}^{- 1} (B_{ϕ_{m_{1}} - δ}))) \subseteq B_{ϕ_{m_{2}} - ϵ}

、がある、なぜなら、

B_{ϕ_{m_{1}} - δ}

は

ϕ_{m_{1}} (U_{m_{1}})

内に含まれており、

U_{m_{1}}

は

f^{- 1} (ϕ_{m_{2}}^{- 1} (B_{ϕ_{m_{2}} - ϵ}))

内に含まれているから、それが意味するのは、

f ({ϕ_{m_{1}}}^{- 1} (B_{ϕ_{m_{1}} - δ}))

は

{ϕ_{m_{2}}}^{- 1} (B_{ϕ_{m_{2}} - ϵ})

内に含まれているということ、それが意味するのは、

ϕ_{m_{2}} (f ({ϕ_{m_{1}}}^{- 1} (B_{ϕ_{m_{1}} - δ})))

は

B_{ϕ_{m_{2}} - ϵ}

内に含まれているということ。

3: 注

あるマップ（写像）の、トポロジー上の意味におけるコンティヌアス（連続）性が、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちのノルムの意味におけるコンティヌアス（連続）性によって主張されるということが汎く見受けられるが、その議論は本命題または類似のものがゆえにのみ有効である。

参考資料

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2022年9月11日日曜日