132: トポロジカルスペース（空間）たち間のマップ（写像）およびドメイン（定義域）ポイントに対して、もしも、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）のスーパースペース（空間）たち、ポイントおよびポイントイメージ（像）のスーパースペース（空間）たち上のオープンネイバーフッド（開近傍）たち、ドメイン（定義域）ネイバーフッド（近傍）からコドメイン（余域）ネイバーフッド（近傍）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）で元のマップ（写像）へドメイン（定義域）ネイバーフッド（近傍）と元のドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）上でリストリクテッド（制限された）であるものがある場合、元のマップ（写像）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）である

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トポロジカルスペース（空間）たち間のマップ（写像）およびドメイン（定義域）ポイントに対して、もしも、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）のスーパースペース（空間）たち、ポイントおよびポイントイメージ（像）のスーパースペース（空間）たち上のオープンネイバーフッド（開近傍）たち、ドメイン（定義域）ネイバーフッド（近傍）からコドメイン（余域）ネイバーフッド（近傍）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）で元のマップ（写像）へドメイン（定義域）ネイバーフッド（近傍）と元のドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）上でリストリクテッド（制限された）であるものがある場合、元のマップ（写像）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ポイントにおいてコンティヌアス（連続）なマップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）および任意のドメイン（定義域）ポイントに対して、もしも、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）の何らかのスーパースペース（空間）たち、ポイントおよびポイントイメージ（像）のスーパースペース（空間）たち上の何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち、ドメイン（定義域）ネイバーフッド（近傍）からコドメイン（余域）ネイバーフッド（近傍）の中へのあるコンティニュアス（連続）マップ（写像）で元のマップ（写像）へドメイン（定義域）ネイバーフッド（近傍）と元のドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）上でリストリクテッド（制限された）であるものがある場合、元のマップ（写像）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T_1$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T_2$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$f$: $:T_1\to T_2$
$p$: $\in T_1$
//

ステートメント（言明）たち:
(
$\mathrm{\exists }{T}_1^{\prime },T_2^{\prime }\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}(T_1\subseteq T_1^{\prime }\wedge T_1\in \{T_1^{\prime }\text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\wedge T_2\subseteq T_2^{\prime }\wedge T_2\in \{T_2^{\prime }\text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\})$
$\wedge$
$\mathrm{\exists }{U}_p^{\prime }\in \{p\text{ の }{T}_1^{\prime }\text{ 上における }\text{ 全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}\wedge \mathrm{\exists }{U}_{f(p)}^{\prime }\in \{f(p)\text{ の }{T}_2^{\prime }\text{ 上における }\text{ 全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}\wedge \mathrm{\exists }{f}^{\prime }:U_p^{\prime }\to U_{f(p)}^{\prime }(f^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap T_1}=f{|}_{U_p^{\prime }\cap T_1}\wedge f^{\prime }\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\})$
)
$⟹$
$f\in \{p\text{ においてコンティニュアス（連続）な全てのマップ（写像）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のマップ（写像）$f:T_1\to T_2$、任意のポイント$p\in T_1$に対して、もしも、以下を満たす何らかのトポロジカルスペース（空間）たち$T_1^{\prime },T_2^{\prime }$、つまり、$T_1\subseteq T_1^{\prime }$および$T_1$は$T_1^{\prime }$のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、そして、$T_2\subseteq T_2^{\prime }$および$T_2$は$T_2^{\prime }$のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、$p$の$T_1^{\prime }$上のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{\prime }\subseteq T_1^{\prime }$および$f(p)$の$T_2^{\prime }$上のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(p)}^{\prime }\subseteq T_2^{\prime }$、以下を満たすあるコンティニュアス（連続）マップ（写像）$f^{\prime }:U_p^{\prime }\to U_{f(p)}^{\prime }$、つまり、$f^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap T_1}=f{|}_{U_p^{\prime }\cap T_1}$、がある場合、$f$は$p$においてコンティニュアス（連続）である。

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3: 証明

そうした$T_1^{\prime },T_2^{\prime },U_p^{\prime },U_{f(p)}^{\prime },f^{\prime }$があると仮定しよう。

$f(p)$の$T_2$上の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(p)}\subseteq T_2$に対して、$f(p)$の$T_2^{\prime }$上のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(p)}^{″}\subseteq T_2^{\prime }$、つまり、$U_{f(p)}=U_{f(p)}^{″}\cap T_2$、がある。$U_{f(p)}^{\prime }\cap U_{f(p)}^{″}$は$T_2^{\prime }$上および$U_{f(p)}^{\prime }$上でオープン（開）であり、$f^{\prime -1}(U_{f(p)}^{\prime }\cap U_{f(p)}^{″})$は$U_p^{\prime }$上でオープン（開）であり、したがって、$T_1^{\prime }$上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。$U_p:=f^{\prime -1}(U_{f(p)}^{\prime }\cap U_{f(p)}^{″})\cap T_1$は$T_1$上でオープン（開）である。

実のところ、$U_p$がそのように命名されているのは、$p\in U_p$であるから、なぜなら、$f^{\prime }(p)=f(p)\in U_{f(p)}^{\prime }$および$f^{\prime }(p)=f(p)\in U_{f(p)}=U_{f(p)}^{″}\cap T_2$、したがって、$f^{\prime }(p)\in U_{f(p)}^{\prime }\cap U_{f(p)}^{″}$、したがって、$p\in f^{\prime -1}(U_{f(p)}^{\prime }\cap U_{f(p)}^{″})$、そして勿論、$p\in T_1$。

$f(U_p)\subseteq U_{f(p)}$、なぜなら、各$p^{\prime }\in U_p$に対して、$f(p^{\prime })=f^{\prime }(p^{\prime })$、なぜなら、$p^{\prime }\in U_p^{\prime }\cap T_1$ ($U_p$は$f^{\prime }$のドメイン（定義域）内にいるから）、したがって、$f(p^{\prime })\in U_{f(p)}^{\prime }\cap U_{f(p)}^{″}$（$U_p$は$U_{f(p)}^{\prime }\cap U_{f(p)}^{″}$の$f^{\prime }$下のプリイメージ（前像）内にいるから）、しかし、$f$は$T_2$の中へのものであるから、$f(p^{\prime })\in T_2$、したがって、$f(p^{\prime })\in U_{f(p)}^{\prime }\cap U_{f(p)}^{″}\cap T_2$、しかし、$U_{f(p)}=U_{f(p)}^{″}\cap T_2$であるから、$f(p^{\prime })\in U_{f(p)}^{\prime }\cap U_{f(p)}\subseteq U_{f(p)}$。

したがって、$f(p)$の$T_2$上の各ネイバーフッド（近傍）$U_{f(p)}$に対して、$p$の$T_1$上の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）$U_p$、つまり、$f(U_p)\subseteq U_{f(p)}$、がある、それは、ポイントにおけるコンティニュアス（連続）性の定義に他ならない。

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4: 注

当該スーパースペース（空間）たちは通常何らの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちであるように取られ、当該拡張されたマップ（写像）を持ち込むことの通常の目当は、元のマップ（写像）のコンティニュアス（連続）性を当該拡張されたマップ（写像（それは、あるコーディネート（座標）たちファンクション（関数）表現を持っていると予期されており、その（コーディネート（座標）たちファンクション（関数）の）コンティニュアス（連続）性はノルムの意味においてチェックできる、それは、当該拡張されたマップ（写像）のコンティニュアス（連続）性に等しい、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールドたち間マップ（写像）に対して、そのコンティヌアス（連続）性の、トポロジー上の意味におけるものは、そのコンティヌアス（連続）性の、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるもの、と同値であることの命題によって）を用いてチェックすることである。

当該サブスペース（部分空間）たちは必ずしもチャートを持たない、なぜなら、サブスペース（部分空間）は必ずしも$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）でなく単にトポロジカルスペース（空間）であるかもしれない、したがって、当該マップ（写像）のコーディネート（座標）たちファンクション（関数）表現（それによって、当該マップ（写像）のコンティニュアス（連続）性がチェックできたかもしれない）などないかもしれない。

トポロジカルスペース（空間）間の恣意的なノルムの意味コンティニュアス（連続）ファンクション（関数）でスーパースペース（空間）に基づいているのでないものを持ち込むことは、元のマップ（写像）のトポロジー上の意味におけるコンティニュアス（連続）性を保証しない、そうでないと証明されない限りは。

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参考資料

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