トポロジカルサブスペース（部分空間）間マップ（写像）の、ポイントにおけるコンティヌアス（連続）性は、マップ（写像）の、スーパースペースたちのオープンセット（開集合）たちへの拡張のコンティヌアス（連続）性から帰結されることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）間の任意のマップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、スーパースペースたちのオープンセット（開集合）たちへの拡張であるマップ（写像）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）たち\(T_{12} \subseteq T_{11}\)および\(T_{22} \subseteq T_{21}\)および任意のマップ（写像）\(f: T_{12} \rightarrow T_{22}\)に対して、\(f\)は任意のポイント\(p \in T_{12}\)においてコンティヌアス（連続）である、もしも、以下を満たすあるコンティヌアス（連続）マップ（写像）\(f': U'_p \rightarrow U'_{f (p)}\)、ここで、\(U'_p\)および\(U'_{f (p)}\)は\(T_{11}\)上の\(p\)の近傍および\(T_{21}\)上の\(f (p)\)の近傍、つまり、\(f'|_{U'_p \cap T_{12}} = f\)がある場合。
2: 証明
そのような\(f'\)があると仮定しよう。任意の\(T_{22}\)上\(f (p)\)近傍\(U_{f (p)} \subseteq T_{22}\)に対して、以下を満たす\(T_{21}\)上オープンセット（開集合）\(U'_1 \subseteq T_{21}\)がある、つまり、\(U_{f (p)} = U'_1 \cap T_{22}\)。\(U'_{f (p)} \cap U'_1\)は\(T_{21}\)上および\(U'_{f (p)}\)でオープン（開）であり、\(f'^{-1} (U'_{f (p)} \cap U'_1)\)は\(U'_p\)上でオープン（開）であり、したがって\(T_{11}\)上でそうである、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のサブトポロジカルスペース（空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。\(U_p := f'^{-1} (U'_{f (p)} \cap U'_1) \cap T_{12}\)は\(T_{12}\)上でオープン（開）である。
実のところ、\(U_p\)がそのように命名されたのは、\(p \in U_p\)だから、なぜなら、\(f' (p) = f (p) \in U'_{f (p)}\)および\(f' (p) = f (p) \in U_{f (p)} = U'_1 \cap T_{22}\)、したがって、\(f' (p) \in U'_{f (p)} \cap U'_1\)、したがって、\(p \in f'^{-1} (U'_{f (p)} \cap U'_1)\)で勿論、\(p \in T_{12}\)。
\(f (U_p) \subseteq U_{f (p)}\)、なぜなら、任意の\(p_1 \in U_p\)に対して、\(f (p_1) = f' (p_1)\)、なぜなら、\(p_1 \in U'_p \cap T_{12}\)（\(U_p\)は\(f'\)下のプリイメージ（前像）だから）、したがって、\(f (p_1) \in U'_{f (p)} \cap U'_1\)（\(U_p\)は\(U'_{f (p)} \cap U'_1\)の\(f'\)下のプリイメージ（前像）の中にあるから）、しかし、\(f\)は\(T_{22}\)の中へなので、\(f (p_1) \in T_{22}\)、したがって、\(f (p_1) \in U'_{f (p)} \cap U'_1 \cap T_{22}\)、しかし、\(U_{f (p)} = U'_1 \cap T_{22}\)なので、\(f (p_1) \in U'_{f (p)} \cap U_{f (p)} \subseteq U_{f (p)}\)。
したがって、任意の、\(f (p)\)の\(T_{22}\)上近傍\(U_{f (p)}\)に対して、以下を満たすある、\(p\)の\(T_{12}\)上近傍\(U_p\)がある、つまり、\(f (U_p) \subseteq U_{f (p)}\)、それは、ポイントにおけるコンティヌアス（連続）性の定義に他ならない。
3: 注
スーパースペースたちは大抵\(C^\infty\)マニフォールドたちであるよう期待されていて、拡張されたマップ（写像）を持ち出すよくある狙いは、元のマップ（写像）のコンティヌアス（連続）性を、拡張されたマップ（写像）を用いてチェックするにあたって、拡張されたマップ（写像）は、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちで代表されると期待されており、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちのコンティヌアス（連続）性はノルムの意味においてチェックでき、それは、拡張されたマップ（写像）のコンティヌアス（連続）性と同値である、任意の\(C^\infty\)マニフォールドたち間マップ（写像）に対して、そのコンティヌアス（連続）性の、トポロジー上の意味におけるものは、そのコンティヌアス（連続）性の、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるもの、と同値であることの命題によって、ということである。
注意として、サブスペース（部分空間）たちは必ずしもチャートを持っていない、なぜなら、サブスペース（部分空間）は必ずしも\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）でなく単にトポロジカルスペース（空間）であるかもしれないから、したがって、当該マップ（写像）のコーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちで代表されないかもしれず、すると、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちによってコンティヌアス（連続）性をチェックすることができない。
トポロジカルスペース（空間）間の恣意的な、ノルムの意味におけるコンティヌアス（連続）ファンクションで、スーパースペースたちに基づかないものを持ち出すことは、元のマップ（写像）のトポロジー上の意味におけるコンティヌアス（連続）性を保証しないはずだ、そうでないと証明されない限りは。
