トポロジカルスペース（空間）たち間のマップ（写像）およびドメイン（定義域）ポイントに対して、もしも、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）のスーパースペース（空間）たち、ポイントおよびポイントイメージ（像）のスーパースペース（空間）たち上のオープンネイバーフッド（開近傍）たち、ドメイン（定義域）ネイバーフッド（近傍）からコドメイン（余域）ネイバーフッド（近傍）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）で元のマップ（写像）へドメイン（定義域）ネイバーフッド（近傍）と元のドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）上でリストリクテッド（制限された）であるものがある場合、元のマップ（写像）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）および任意のドメイン（定義域）ポイントに対して、もしも、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）の何らかのスーパースペース（空間）たち、ポイントおよびポイントイメージ（像）のスーパースペース（空間）たち上の何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち、ドメイン（定義域）ネイバーフッド（近傍）からコドメイン（余域）ネイバーフッド（近傍）の中へのあるコンティニュアス（連続）マップ（写像）で元のマップ（写像）へドメイン（定義域）ネイバーフッド（近傍）と元のドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）上でリストリクテッド（制限された）であるものがある場合、元のマップ（写像）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\)
\(p\): \(\in T_1\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\exists T'_1, T'_2 \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\} (T_1 \subseteq T'_1 \land T_1 \in \{T'_1\text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\} \land T_2 \subseteq T'_2 \land T_2 \in \{T'_2\text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\})\)
\(\land\)
\(\exists U'_p \in \{p \text{ の } T'_1 \text{ 上における } \text{ 全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} \land \exists U'_{f (p)} \in \{f (p) \text{ の } T'_2 \text{ 上における } \text{ 全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} \land \exists f': U'_p \to U'_{f (p)} (f' \vert_{U'_p \cap T_1} = f \vert_{U'_p \cap T_1} \land f' \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\})\)
)
\(\implies\)
\(f \in \{p\text{ においてコンティニュアス（連続）な全てのマップ（写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のマップ（写像）\(f: T_1 \to T_2\)、任意のポイント\(p \in T_1\)に対して、もしも、以下を満たす何らかのトポロジカルスペース（空間）たち\(T'_1, T'_2\)、つまり、\(T_1 \subseteq T'_1\)および\(T_1\)は\(T'_1\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、そして、\(T_2 \subseteq T'_2\)および\(T_2\)は\(T'_2\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、\(p\)の\(T'_1\)上のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_p \subseteq T'_1\)および\(f (p)\)の\(T'_2\)上のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{f (p)} \subseteq T'_2\)、以下を満たすあるコンティニュアス（連続）マップ（写像）\(f': U'_p \to U'_{f (p)}\)、つまり、\(f' \vert_{U'_p \cap T_1} = f \vert_{U'_p \cap T_1}\)、がある場合、\(f\)は\(p\)においてコンティニュアス（連続）である。
3: 証明
そうした\(T'_1, T'_2, U'_p, U'_{f (p)}, f'\)があると仮定しよう。
\(f (p)\)の\(T_2\)上の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (p)} \subseteq T_2\)に対して、\(f (p)\)の\(T'_2\)上のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U''_{f (p)} \subseteq T'_2\)、つまり、\(U_{f (p)} = U''_{f (p)} \cap T_2\)、がある。\(U'_{f (p)} \cap U''_{f (p)}\)は\(T'_2\)上および\(U'_{f (p)}\)上でオープン（開）であり、\(f'^{-1} (U'_{f (p)} \cap U''_{f (p)})\)は\(U'_p\)上でオープン（開）であり、したがって、\(T'_1\)上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。\(U_p := f'^{-1} (U'_{f (p)} \cap U''_{f (p)}) \cap T_1\)は\(T_1\)上でオープン（開）である。
実のところ、\(U_p\)がそのように命名されているのは、\(p \in U_p\)であるから、なぜなら、\(f' (p) = f (p) \in U'_{f (p)}\)および\(f' (p) = f (p) \in U_{f (p)} = U''_{f (p)} \cap T_2\)、したがって、\(f' (p) \in U'_{f (p)} \cap U''_{f (p)}\)、したがって、\(p \in f'^{-1} (U'_{f (p)} \cap U''_{f (p)})\)、そして勿論、\(p \in T_1\)。
\(f (U_p) \subseteq U_{f (p)}\)、なぜなら、各\(p' \in U_p\)に対して、\(f (p') = f' (p')\)、なぜなら、\(p' \in U'_p \cap T_1\) (\(U_p\)は\(f'\)のドメイン（定義域）内にいるから）、したがって、\(f (p') \in U'_{f (p)} \cap U''_{f (p)}\)（\(U_p\)は\(U'_{f (p)} \cap U''_{f (p)}\)の\(f'\)下のプリイメージ（前像）内にいるから）、しかし、\(f\)は\(T_2\)の中へのものであるから、\(f (p') \in T_2\)、したがって、\(f (p') \in U'_{f (p)} \cap U''_{f (p)} \cap T_2\)、しかし、\(U_{f (p)} = U''_{f (p)} \cap T_2\)であるから、\(f (p') \in U'_{f (p)} \cap U_{f (p)} \subseteq U_{f (p)}\)。
したがって、\(f (p)\)の\(T_2\)上の各ネイバーフッド（近傍）\(U_{f (p)}\)に対して、\(p\)の\(T_1\)上の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(U_p\)、つまり、\(f (U_p) \subseteq U_{f (p)}\)、がある、それは、ポイントにおけるコンティニュアス（連続）性の定義に他ならない。
4: 注
当該スーパースペース（空間）たちは通常何らの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちであるように取られ、当該拡張されたマップ（写像）を持ち込むことの通常の目当は、元のマップ（写像）のコンティニュアス（連続）性を当該拡張されたマップ（写像（それは、あるコーディネート（座標）たちファンクション（関数）表現を持っていると予期されており、その（コーディネート（座標）たちファンクション（関数）の）コンティニュアス（連続）性はノルムの意味においてチェックできる、それは、当該拡張されたマップ（写像）のコンティニュアス（連続）性に等しい、任意の\(C^\infty\)マニフォールドたち間マップ（写像）に対して、そのコンティヌアス（連続）性の、トポロジー上の意味におけるものは、そのコンティヌアス（連続）性の、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるもの、と同値であることの命題によって）を用いてチェックすることである。
当該サブスペース（部分空間）たちは必ずしもチャートを持たない、なぜなら、サブスペース（部分空間）は必ずしも\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）でなく単にトポロジカルスペース（空間）であるかもしれない、したがって、当該マップ（写像）のコーディネート（座標）たちファンクション（関数）表現（それによって、当該マップ（写像）のコンティニュアス（連続）性がチェックできたかもしれない）などないかもしれない。
トポロジカルスペース（空間）間の恣意的なノルムの意味コンティニュアス（連続）ファンクション（関数）でスーパースペース（空間）に基づいているのでないものを持ち込むことは、元のマップ（写像）のトポロジー上の意味におけるコンティニュアス（連続）性を保証しない、そうでないと証明されない限りは。
