384: クローズド（閉）トポロジカルサブスペース（部分空間）上のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）である

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クローズド（閉）トポロジカルサブスペース（部分空間）上のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のクローズド（閉）トポロジカルスペース（空間）上の任意のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T_1$および$T_1$上の任意のクローズド（閉）トポロジカルサブスペース（部分空間）$T_2\subseteq T_1$に対して、$T_2$上の任意のクローズドセット（閉集合）$C\subseteq T_2$は$T_1$上でクローズド（閉）である。

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2: 証明

$C$は$T_2$上でクローズド（閉）であるから、$T_2\setminus C$は$T_2$上でオープン（開）である。任意のポイント$p\in T_2\setminus C$に対して、$p$のある$T_2$上オープン（開）ネイバーフッド（近傍）$U_p\subseteq T_2\setminus C$ がある。サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、$U_p=U_p^{\prime }\cap T_2$、ここで、$U_p^{\prime }\subseteq T_1$は$T_1$上でオープン（開）。しかし、$U_p^{\prime }=U_p^{\prime }\cap (T_2\cup (T_1\setminus T_2))=(U_p^{\prime }\cap T_2)\cup (U_p^{\prime }\cap (T_1\setminus T_2))\subseteq (T_2\setminus C)\cup (T_1\setminus T_2)$、なぜなら、$U_p^{\prime }\cap T_2\subseteq T_2\setminus C$および$(U_p^{\prime }\cap (T_1\setminus T_2))\subseteq T_1\setminus T_2$。$(T_2\setminus C)\cup (T_1\setminus T_2)=T_1\setminus C$であるから、$U_p^{\prime }\subseteq T_1\setminus C$、それが意味するのは、$T_2\setminus C$上の任意のポイントの周りに、$T_1$上のあるオープン（開）ネイバーフッド（近傍）であって$T_1\setminus C$に包含されているものがあるということ。$T_2$は$T_1$上でクローズド（閉）であるから、$T_1\setminus T_2$は$T_1$上でオープン（開）である。任意のポイント$p\in T_1\setminus T_2$に対して、$p$の$T_1$上のあるオープン（開）ネイバーフッド（近傍）$U_p\subseteq T_1\setminus T_2\subseteq T_1\setminus C$がある、それが意味するのは、$T_1\setminus T_2$上の任意のポイントの周りに、$T_1$上のあるオープン（開）ネイバーフッド（近傍）であって$T_1\setminus C$に包含されているものがあるということ。$T_1\setminus C=(T_2\setminus C)\cup (T_1\setminus T_2)$であるから、$T_1\setminus C$上の任意のポイントの周りに、$T_1$上のあるネイバーフッド（近傍）で$T_1\setminus C$に包含されているものがあるということ、それが意味するのは、$T_1\setminus C$は$T_1$上でオープン（開）であるということ、したがって、$C$は$T_1$上でクローズド（閉）である。

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参考資料

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