クローズド（閉）トポロジカルサブスペース（部分空間）上のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のクローズド（閉）トポロジカルスペース（空間）上の任意のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T_1\)および\(T_1\)上の任意のクローズド（閉）トポロジカルサブスペース（部分空間）\(T_2 \subseteq T_1\)に対して、\(T_2\)上の任意のクローズドセット（閉集合）\(C \subseteq T_2\)は\(T_1\)上でクローズド（閉）である。
2: 証明
\(C\)は\(T_2\)上でクローズド（閉）であるから、\(T_2 \setminus C\)は\(T_2\)上でオープン（開）である。任意のポイント\(p \in T_2 \setminus C\)に対して、\(p\)のある\(T_2\)上オープン（開）ネイバーフッド（近傍）\(U_p \subseteq T_2 \setminus C\) がある。サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、\(U_p = U_p' \cap T_2\)、ここで、\(U_p' \subseteq T_1\)は\(T_1\)上でオープン（開）。しかし、\(U_p' = U_p' \cap (T_2 \cup (T_1 \setminus T_2)) = (U_p' \cap T_2) \cup (U_p' \cap (T_1 \setminus T_2)) \subseteq (T_2 \setminus C) \cup (T_1 \setminus T_2)\)、なぜなら、\(U_p' \cap T_2 \subseteq T_2 \setminus C\)および\((U_p' \cap (T_1 \setminus T_2)) \subseteq T_1 \setminus T_2\)。\((T_2 \setminus C) \cup (T_1 \setminus T_2) = T_1 \setminus C\)であるから、\(U_p' \subseteq T_1 \setminus C\)、それが意味するのは、\(T_2 \setminus C\)上の任意のポイントの周りに、\(T_1\)上のあるオープン（開）ネイバーフッド（近傍）であって\(T_1 \setminus C\)に包含されているものがあるということ。\(T_2\)は\(T_1\)上でクローズド（閉）であるから、\(T_1 \setminus T_2\)は\(T_1\)上でオープン（開）である。任意のポイント\(p \in T_1 \setminus T_2\)に対して、\(p\)の\(T_1\)上のあるオープン（開）ネイバーフッド（近傍）\(U_p \subseteq T_1 \setminus T_2 \subseteq T_1 \setminus C\)がある、それが意味するのは、\(T_1 \setminus T_2\)上の任意のポイントの周りに、\(T_1\)上のあるオープン（開）ネイバーフッド（近傍）であって\(T_1 \setminus C\)に包含されているものがあるということ。\(T_1 \setminus C = (T_2 \setminus C) \cup (T_1 \setminus T_2)\)であるから、\(T_1 \setminus C\)上の任意のポイントの周りに、\(T_1\)上のあるネイバーフッド（近傍）で\(T_1 \setminus C\)に包含されているものがあるということ、それが意味するのは、\(T_1 \setminus C\)は\(T_1\)上でオープン（開）であるということ、したがって、\(C\)は\(T_1\)上でクローズド（閉）である。
